Theorem lenlt 10116

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10085	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 10103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 494	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by:  ltnle  10117  letri3  10123  leloe  10124  eqlelt  10125  ne0gt0  10142  lelttric  10144  lenlti  10157  lenltd  10183  ltaddsub  10502  leord1  10555  lediv1  10888  suprleub  10989  dfinfre  11004  infregelb  11007  nnge1  11046  nnnlt1  11050  avgle1  11272  avgle2  11273  nn0nlt0  11319  recnz  11452  btwnnz  11453  prime  11458  indstr  11756  uzsupss  11780  zbtwnre  11786  rpneg  11863  2resupmax  12019  fzn  12357  nelfzo  12475  fzonlt0  12491  fllt  12607  flflp1  12608  modifeq2int  12732  om2uzlt2i  12750  fsuppmapnn0fiub0  12793  suppssfz  12794  leexp2  12915  discr  13001  bcval4  13094  ccatsymb  13366  swrd0  13434  sqrtneglem  14007  harmonic  14591  efle  14848  dvdsle  15032  dfgcd2  15263  lcmf  15346  infpnlem1  15614  pgpssslw  18029  gsummoncoe1  19674  mp2pm2mplem4  20614  dvferm1  23748  dvferm2  23750  dgrlt  24022  logleb  24349  argrege0  24357  ellogdm  24385  dvlog2lem  24398  cxple  24441  cxple3  24447  asinneg  24613  birthdaylem3  24680  ppieq0  24902  chpeq0  24933  chteq0  24934  lgsval2lem  25032  lgsneg  25046  lgsdilem  25049  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem3  25093  ostth2lem1  25307  ostth3  25327  upgrewlkle2  26502  rusgrnumwwlks  26869  clwlkclwwlklem2a  26899  frgrreg  27252  friendship  27257  nmounbi  27631  nmlno0lem  27648  nmlnop0iALT  28854  supfz  31613  inffz  31614  inffzOLD  31615  fz0n  31616  nn0prpw  32318  leceifl  33398  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem20  33429  poimirlem24  33433  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  ftc1anclem1  33485  nninfnub  33547  ellz1  37330  rencldnfilem  37384  limsup10ex  40005  icccncfext  40100  subsubelfzo0  41336  digexp  42401