Theorem subsubelfzo0 41336

Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subsubelfzo0	|- ( ( A e. ( 0..^ N ) /\ I e. ( 0..^ N ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( I - ( N - A ) ) e. ( 0..^ A ) )

Proof of Theorem subsubelfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 12508	. . . 4 |- ( A e. ( 0..^ N ) <-> ( A e. NN0 /\ N e. NN /\ A < N ) )
2		elfzo0 12508	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ N ) <-> ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) )
3		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
4	3	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> N e. RR )
5		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> A e. RR )
7		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ A e. RR ) -> ( N - A ) e. RR )
8	4, 6, 7	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( N - A ) e. RR )
9		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> I e. RR )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> I e. RR )
12		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N - A ) e. RR /\ I e. RR ) -> ( ( N - A ) <_ I <-> -. I < ( N - A ) ) )
13	12	bicomd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N - A ) e. RR /\ I e. RR ) -> ( -. I < ( N - A ) <-> ( N - A ) <_ I ) )
14	8, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( -. I < ( N - A ) <-> ( N - A ) <_ I ) )
15	14	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( N - A ) <_ I )
16		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
17	16	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> N e. ZZ )
18		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> A e. ZZ )
20		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( N - A ) e. ZZ )
21	17, 19, 20	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( N - A ) e. ZZ )
22		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR ) -> ( A < N -> A <_ N ) )
23	5, 4, 22	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( A < N -> A <_ N ) )
24	23	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> A <_ N ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> A <_ N )
26		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - A ) <-> A <_ N ) )
27	4, 6, 26	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( 0 <_ ( N - A ) <-> A <_ N ) )
28	25, 27	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> 0 <_ ( N - A ) )
29		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N - A ) e. NN0 <-> ( ( N - A ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - A ) ) )
30	21, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( N - A ) e. NN0 )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( N - A ) e. NN0 )
32		simplr1 1103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> I e. NN0 )
33		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N - A ) e. NN0 /\ I e. NN0 ) -> ( ( N - A ) <_ I <-> ( I - ( N - A ) ) e. NN0 ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( ( N - A ) <_ I <-> ( I - ( N - A ) ) e. NN0 ) )
35	15, 34	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( I - ( N - A ) ) e. NN0 )
36		elnn0uz 11725	. . . . . . . . 9 |- ( ( I - ( N - A ) ) e. NN0 <-> ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
37	35, 36	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
38	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> A e. ZZ )
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> A e. ZZ )
40	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> I e. RR )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> I e. RR )
42	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> N e. RR )
44	42, 5, 7	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( N - A ) e. RR )
45	41, 43, 44	ltsub1d 10636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( I < N <-> ( I - ( N - A ) ) < ( N - ( N - A ) ) ) )
46		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. CC )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. CC )
48		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. NN0 -> A e. CC )
49		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( N - ( N - A ) ) = A )
50	47, 48, 49	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( N - ( N - A ) ) = A )
51	50	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( ( I - ( N - A ) ) < ( N - ( N - A ) ) <-> ( I - ( N - A ) ) < A ) )
52	51	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( ( I - ( N - A ) ) < ( N - ( N - A ) ) -> ( I - ( N - A ) ) < A ) )
53	45, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN0 /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( I < N -> ( I - ( N - A ) ) < A ) )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN0 -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( I < N -> ( I - ( N - A ) ) < A ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( I < N -> ( I - ( N - A ) ) < A ) ) )
56	55	com3l 89	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( I < N -> ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> ( I - ( N - A ) ) < A ) ) )
57	56	3impia 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> ( I - ( N - A ) ) < A ) )
58	57	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) -> ( I - ( N - A ) ) < A )
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( I - ( N - A ) ) < A )
60	37, 39, 59	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ A < N ) /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) )
61	60	exp31 630	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( -. I < ( N - A ) -> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) ) ) )
62	2, 61	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ A < N ) -> ( I e. ( 0..^ N ) -> ( -. I < ( N - A ) -> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) ) ) )
63	62	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. NN /\ A < N ) -> ( I e. ( 0..^ N ) -> ( -. I < ( N - A ) -> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) ) ) )
64	1, 63	sylbi 207	. . 3 |- ( A e. ( 0..^ N ) -> ( I e. ( 0..^ N ) -> ( -. I < ( N - A ) -> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) ) ) )
65	64	3imp 1256	. 2 |- ( ( A e. ( 0..^ N ) /\ I e. ( 0..^ N ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) )
66		elfzo2 12473	. 2 |- ( ( I - ( N - A ) ) e. ( 0..^ A ) <-> ( ( I - ( N - A ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ A e. ZZ /\ ( I - ( N - A ) ) < A ) )
67	65, 66	sylibr 224	1 |- ( ( A e. ( 0..^ N ) /\ I e. ( 0..^ N ) /\ -. I < ( N - A ) ) -> ( I - ( N - A ) ) e. ( 0..^ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by: (None)