Theorem tgbtwndiff 25401

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (#‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwndiff.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwndiff	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   − ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwndiff.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwndiff.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwndiff.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwndiff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 766	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwndiff.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 766	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwndiff.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 766	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		simpllr 799	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
11		simplr 792	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11	axtgsegcon 25363	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)))
13	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ∈ 𝑃)
15	11	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣 ∈ 𝑃)
16	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝑐))
19		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣))
20	18, 19	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 − 𝑣) = (𝐵 − 𝐵))
21	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20	axtgcgrid 25362	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22		simp-4r 807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ≠ 𝑣)
23	22	neneqd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
24	21, 23	pm2.65da 600	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
25	24	neqned 2801	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐵 ≠ 𝑐)
26	25	ex 450	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
27	26	anim2d 589	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	27	reximdva 3017	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
29	12, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
30		tgbtwndiff.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃))
31	1, 2, 3, 4, 30	tglowdim1 25395	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑢 ≠ 𝑣)
32	29, 31	r19.29vva 3081	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ≤ cle 10075  2c2 11070  #chash 13117  Basecbs 15857  distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-trkgc 25347  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  tgifscgr  25403  tgcgrxfr  25413  tgbtwnconn3  25472  legtrid  25486  hlcgrex  25511  hlcgreulem  25512  midexlem  25587  hpgerlem  25657