Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | tgcgrxfr.a |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
2 | 1 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
3 | | tgcgrxfr.p |
. . . 4
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
4 | | tgcgrxfr.m |
. . . 4
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
5 | | tgcgrxfr.i |
. . . 4
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
6 | | tgcgrxfr.g |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
7 | 6 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
8 | | tgcgrxfr.d |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃) |
9 | 8 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
10 | | tgcgrxfr.f |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃) |
11 | 10 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃) |
12 | | simpr 477 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (#‘𝑃) = 1) |
13 | 3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12 | tgldim0itv 25399 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) |
14 | | tgcgrxfr.r |
. . . 4
⊢ ∼ =
(cgrG‘𝐺) |
15 | | tgcgrxfr.b |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) |
16 | 15 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
17 | | tgcgrxfr.c |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) |
18 | 17 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
19 | 3, 4, 5, 7, 2, 16,
9, 12, 2 | tgldim0cgr 25400 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐴)) |
20 | 3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11 | tgldim0cgr 25400 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐹)) |
21 | 3, 4, 5, 7, 18, 2,
11, 12, 9 | tgldim0cgr 25400 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) |
22 | 3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21 | trgcgr 25411 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝐴𝐹”〉) |
23 | | eleq1 2689 |
. . . . 5
⊢ (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))) |
24 | | eqidd 2623 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑒 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐷) |
25 | | id 22 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑒 = 𝐴 → 𝑒 = 𝐴) |
26 | | eqidd 2623 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑒 = 𝐴 → 𝐹 = 𝐹) |
27 | 24, 25, 26 | s3eqd 13609 |
. . . . . 6
⊢ (𝑒 = 𝐴 → 〈“𝐷𝑒𝐹”〉 = 〈“𝐷𝐴𝐹”〉) |
28 | 27 | breq2d 4665 |
. . . . 5
⊢ (𝑒 = 𝐴 → (〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉 ↔ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝐴𝐹”〉)) |
29 | 23, 28 | anbi12d 747 |
. . . 4
⊢ (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝐴𝐹”〉))) |
30 | 29 | rspcev 3309 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝐴𝐹”〉)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |
31 | 2, 13, 22, 30 | syl12anc 1324 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |
32 | 6 | ad3antrrr 766 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
33 | | simplr 792 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝑃) |
34 | 8 | ad3antrrr 766 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
35 | 1 | ad3antrrr 766 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
36 | 15 | ad3antrrr 766 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
37 | 3, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36 | axtgsegcon 25363 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) |
38 | 6 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
39 | 33 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑃) |
40 | 39 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ∈ 𝑃) |
41 | 8 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
42 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑒 ∈ 𝑃) |
43 | 42 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ 𝑃) |
44 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝑃) |
45 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) |
46 | 45 | simpld 475 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒)) |
47 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓)) |
48 | 3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47 | tgbtwnexch3 25389 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓)) |
49 | 1 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
50 | 17 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
51 | 10 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐹 ∈ 𝑃) |
52 | | simp-5r 809 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) |
53 | 52 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝑔) |
54 | 53 | necomd 2849 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ≠ 𝐷) |
55 | 3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47 | tgbtwnexch 25393 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓)) |
56 | 52 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔)) |
57 | 3, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56 | tgbtwncom 25383 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹)) |
58 | 15 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
59 | | tgcgrxfr.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) |
60 | 59 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) |
61 | 45 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) |
62 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)) |
63 | 3, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62 | tgcgrextend 25380 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑓) = (𝐴 − 𝐶)) |
64 | | tgcgrxfr.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) |
65 | 64 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) |
66 | 65 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐴 − 𝐶)) |
67 | 3, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66 | tgsegconeq 25381 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹) |
68 | 67 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹)) |
69 | 48, 68 | eleqtrd 2703 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹)) |
70 | 61 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑒)) |
71 | 67 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝑒 − 𝐹)) |
72 | 62, 71 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑒 − 𝐹)) |
73 | 3, 4, 5, 6, 1, 17,
8, 10, 64 | tgcgrcomlr 25375 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) |
74 | 73 | ad7antr 774 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) |
75 | 3, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74 | trgcgr 25411 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉) |
76 | 69, 75 | jca 554 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |
77 | 32 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
78 | 36 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
79 | 17 | ad5antr 770 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
80 | 3, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79 | axtgsegcon 25363 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) |
81 | 76, 80 | r19.29a 3078 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |
82 | 81 | ex 450 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 2 ≤
(#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉))) |
83 | 82 | reximdva 3017 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → (∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉))) |
84 | 37, 83 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |
85 | 6 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
86 | 10 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑃) |
87 | 8 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
88 | | simpr 477 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃)) |
89 | 3, 4, 5, 85, 86, 87, 88 | tgbtwndiff 25401 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) |
90 | 84, 89 | r19.29a 3078 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |
91 | 3, 1 | tgldimor 25397 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))) |
92 | 31, 90, 91 | mpjaodan 827 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ 〈“𝐴𝐵𝐶”〉 ∼ 〈“𝐷𝑒𝐹”〉)) |