Theorem xpsdsfn 22182

Description: Closure of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsdsfn	⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsdsfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsds.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsds.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsds.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsds.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		xpsds.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
6		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 16232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpslem 16233	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
11	6	xpsff1o2 16231	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
13		f1ocnv 6149	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14		f1ofo 6144	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
15	12, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
16		ovexd 6680	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
17		eqid 2622	. 2 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
18		xpsds.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
19	9, 10, 15, 16, 17, 18	imasdsfn 16174	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  {csn 4177   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115   Fn wfn 5883  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   +_𝑐 ccda 8989  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944  distcds 15950  X_scprds 16106   ×_s cxps 16166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-imas 16168  df-xps 16170

This theorem is referenced by:  xpsdsfn2  22183