Theorem zleltp1 11428

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zleltp1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 < (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem zleltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 11381	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1re 10039	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		leadd1 10496	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
5	3, 4	mp3an3 1413	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
6	1, 2, 5	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
7		peano2z 11418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8		zltp1le 11427	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	sylan2 491	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑀 + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
10	6, 9	bitr4d 271	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 < (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  zltlem1  11430  nnleltp1  11432  nn0leltp1  11436  suprzcl  11457  le9lt10  11529  declecOLD  11544  uzwo  11751  flge  12606  flhalf  12631  om2uzlti  12749  seqf1olem1  12840  fz1isolem  13245  hashtpg  13267  ltoddhalfle  15085  prmind2  15398  prm23lt5  15519  prmreclem2  15621  prmgaplem8  15762  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  plyco0  23948  plydivex  24052  logf1o2  24396  ang180lem3  24541  basellem3  24809  ppieq0  24902  chpeq0  24933  bposlem1  25009  bposlem6  25014  dchrvmasumiflem1  25190  mulog2sumlem2  25224  dp2lt10  29591  1smat1  29870  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  poimirlem24  33433  poimirlem28  33437  fdc  33541  irrapxlem1  37386  pellexlem5  37397  jm2.24  37530  zltlesub  39497  dvnxpaek  40157  fourierdlem50  40373  zgeltp1eq  41318  odz2prm2pw  41475  fmtno4prmfac  41484  2pwp1prm  41503  nnsum3primesle9  41682