Theorem plydivex 24052

Description: Lemma for plydivalg 24054. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivex	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrcl 23989	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5		plydiv.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6		dgrcl 23989	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
9	4, 8	resubcld 10458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10		arch 11289	. . 3 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12		olc 399	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
13	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
14		nnnn0 11299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
15		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
16	15	orbi2d 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
17	16	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
18	17	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
19	18	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
20		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
21	20	orbi2d 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
22	21	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
24	23	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
25		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
26	25	orbi2d 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
27	26	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
28	27	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
29	28	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
30		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
32		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
33	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
34		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
35	34	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
36		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
38		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
39	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
40		plydiv.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
43		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
44	31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43	plydivlem3 24050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
45	44	expr 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
47		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝑔 = 0𝑝))
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
50	49	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
51	47, 50	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
52		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)))
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝))
54	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))))
55	54	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
56	53, 55	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
57	56	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
58	51, 57	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
59	58	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
61	60, 30	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
62	60, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
63	60, 34	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
64	60, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
65		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
66	60, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
67	60, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
68		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
69		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
70		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
72		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤↑𝑑) = (𝑧↑𝑑))
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
74	73	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
75		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
76		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)))
78	77	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
79	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))))
80	79	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
81	78, 80	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
82	81	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
83	82	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
84	83	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
85	75, 84	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
90	61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 42, 68, 69, 70, 71, 74, 85, 86, 87, 88, 89	plydivlem4 24051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
91	90	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
92	91	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
93	59, 92	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
94	93	ancld 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
95		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
97	96	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
98	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
99	98, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
100	99	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
101	97, 100	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
102		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℤ)
103	102	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
104		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
105	101, 103, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
106	101	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
107		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
108	107	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
109	106, 108	leloed 10180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
110	105, 109	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
111	110	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
112		pm5.63 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
113		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
114	113	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
115	114	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
116	112, 115	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
117	116	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
118		or12 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
119		or12 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
120	117, 118, 119	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
121		orass 546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
122	120, 121	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123	111, 122	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
124	123	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
125		jaob 822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
126	124, 125	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
127	126	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
128		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
129	127, 128	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
130	94, 129	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
131	130	expcom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
132	131	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
133	19, 24, 29, 24, 46, 132	nn0ind 11472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
134	14, 133	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
135	134	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
136		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
137		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
138	137	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
139	138	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
140	136, 139	orbi12d 746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
141		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)))
142		plydiv.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
143	141, 142	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
144	143	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
145	143	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
146	145	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
147	144, 146	orbi12d 746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
148	147	rexbidv 3052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
149	140, 148	imbi12d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
150	149	rspcv 3305	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
151	13, 135, 150	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
152	12, 151	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
153	152	rexlimdva 3031	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
154	11, 153	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  0_𝑝c0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  plydivalg  24054