Theorem dvnxpaek 40157

Description: The 𝑛-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnxpaek.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnxpaek.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnxpaek.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnxpaek.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
dvnxpaek.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))

Assertion

Ref	Expression
dvnxpaek	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dvnxpaek

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
2		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 0))
3		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → 0 = 0)
4		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 0))
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 0)))
6	5	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))))
7	4	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))
8	6, 7	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
9	2, 3, 8	ifbieq12d 4113	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
10	9	mpteq2dv 4745	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
11	1, 10	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))))
12		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))
13		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑚))
14		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 0 = 0)
15		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑚))
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑚)))
17	16	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))
18	15	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))
19	17, 18	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
20	13, 14, 19	ifbieq12d 4113	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
21	20	mpteq2dv 4745	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
22	12, 21	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
23		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
24		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
25		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → 0 = 0)
26		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))))
28	27	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
29	26	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
30	28, 29	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
31	24, 25, 30	ifbieq12d 4113	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
32	31	mpteq2dv 4745	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
33	23, 32	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))))
34		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
35		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 < 𝑛 ↔ 𝐾 < 𝑁))
36		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 0 = 0)
37		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾 − 𝑛) = (𝐾 − 𝑁))
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝐾 − 𝑛)) = (!‘(𝐾 − 𝑁)))
39	38	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))))
40	37	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))
41	39, 40	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))
42	35, 36, 41	ifbieq12d 4113	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛)))) = if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))
43	42	mpteq2dv 4745	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))
44	34, 43	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑛, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑛))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑛))))) ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁)))))))
45		dvnxpaek.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
46		recnprss 23668	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
47	45, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
48		cnex 10017	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
50		dvnxpaek.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
51		restsspw 16092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
53	51, 52	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
54		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
57	56, 47	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
59		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
60	58, 59	sseldd 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		dvnxpaek.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	60, 62	addcld 10059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
64		dvnxpaek.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
65	64	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
66	63, 65	expcld 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) ∈ ℂ)
67		dvnxpaek.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
68	66, 67	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
69		elpm2r 7875	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
70	49, 45, 68, 56, 69	syl22anc 1327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
71		dvn0 23687	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
72	47, 70, 71	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
73	67	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
74	64	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
75		0red 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	64	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	75, 76	lenltd 10183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
78	74, 77	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 < 0)
79	78	iffalsed 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
80	79	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))
81	64	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
82	81	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 0)) = (!‘𝐾))
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)))
85		faccl 13070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
86	64, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
87	86	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
88	86	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
89	87, 88	dividd 10799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘𝐾)) = 1)
90	84, 89	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) = 1)
91	82	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
92	90, 91	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
93	92	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))) = (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)))
94	66	mulid2d 10058	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾))
95	80, 93, 94	3eqtrrd 2661	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾) = if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0)))))
96	95	mpteq2dva 4744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
97	72, 73, 96	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 0, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 0))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 0))))))
98	47	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
99	70	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
100		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101		dvnp1 23688	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
103	102	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)))
104		oveq2 6658	. . . 4 ⊢ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
105	104	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))))
106		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = 0)
107	106	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 𝑚 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
109	108	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)))
110		0cnd 10033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
111	45, 50, 110	dvmptconst 40129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
112	111	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
113	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
114		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
115	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
116		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < 𝑚)
117	113, 115, 116	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ≤ 𝑚)
118	64	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	100	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
121		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
122	119, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝐾 ≤ 𝑚 ↔ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
124	117, 123	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
125	124	iftrued 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
126	125	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
127	126	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
128	109, 112, 127	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
129		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
130		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
131	129, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
132	76	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝐾 ∈ ℝ)
133	131, 132	lenltd 10183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
134	130, 133	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → 𝑚 ≤ 𝐾)
135		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 = 𝐾)
136	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
137	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
138	136, 137	lttri3d 10177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑚 = 𝐾 ↔ (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚)))
139	135, 138	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚))
140		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑚 < 𝐾 ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
142	141	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
143	142	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = (!‘(𝐾 − 𝐾)))
148	81	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐾) = 0)
149	148	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = (!‘0))
150		fac0 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (!‘0) = 1
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘0) = 1)
152	149, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝐾)) = 1)
154	147, 153	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = 1)
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) / 1))
156	87	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / 1) = (!‘𝐾))
158	155, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
160	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = (𝐾 − 𝐾))
161	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝐾) = 0)
162	160, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) = 0)
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = ((𝑥 + 𝐴)↑0))
165	63	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
166	165	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑0) = 1)
167	164, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) = 1)
168	159, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = ((!‘𝐾) · 1))
169	87	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
170	169	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · 1) = (!‘𝐾))
171	168, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = (!‘𝐾))
172	171	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾)))
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))))
174	45, 50, 87	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (!‘𝐾))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
176	173, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
177	176	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
178	137	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
179		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑚 + 1) = (𝐾 + 1))
180	179	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
181	180	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝐾 + 1) = (𝑚 + 1))
182	178, 181	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 < (𝑚 + 1))
183	182	iftrued 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = 0)
184	183	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → 0 = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
185	184	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
186	144, 177, 185	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
187	186	adantlr 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
188		simpll 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))
189	188, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
190	76	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
191		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
192		neqne 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝑚 ≠ 𝐾)
193	192	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑚 = 𝐾 → 𝐾 ≠ 𝑚)
194	193	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝐾 ≠ 𝑚)
195	189, 190, 191, 194	leneltd 10191	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
196	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℝ)
197	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
198		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 < 𝐾)
199	196, 197, 198	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ≤ 𝐾)
200	196, 197	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑚))
201	199, 200	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < 𝑚)
202	201	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))
203	202	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))))
205	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
206	205	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
207	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
208	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℕ0)
209	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
210		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
211	208, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0))
212	199, 211	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
213		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℕ)
215	214	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
216	214	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) ≠ 0)
217	207, 215, 216	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
218	217	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) ∈ ℂ)
219	75	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
220	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
222	206, 221, 217	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
223	63	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
224	223	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝐴) ∈ ℂ)
225	212	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ0)
226	224, 225	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)) ∈ ℂ)
227	225	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
228	212	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ)
229	196, 197	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
230	198, 229	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 0 < (𝐾 − 𝑚))
231	228, 230	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
232		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 𝑚)))
233	231, 232	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ)
234		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
235	233, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
236	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0)
237	224, 236	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
238	227, 237	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) ∈ ℂ)
239	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
240	206, 221, 239, 233	dvxpaek 40155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
241	206, 218, 219, 222, 226, 238, 240	dvmptmul 23724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))))
242	226	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) = 0)
243	242	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))))
244	238, 218	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) ∈ ℂ)
245	244	addid2d 10237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
246	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝑚 ∈ ℤ)
247	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
248		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
249	246, 247, 248	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 < 𝐾 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝐾))
250	198, 249	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ≤ 𝐾)
251		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
252	196, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
253	252, 197	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1)))
254	250, 253	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
255	254	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐾 < (𝑚 + 1))
256	255	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
257	218, 227, 237	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
258	257	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))))
259	233	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ∈ ℂ)
260	207, 215, 259, 216	div32d 10824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
261		facnn2 13069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
262	233, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − 𝑚)) = ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚)))
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))))
264		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 − 𝑚) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
265	234, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
266	265	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
267	233, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
268	235, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ)
269		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ∈ ℕ → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
270	268, 269	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) ≠ 0)
271		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 − 𝑚) ∈ ℕ → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
272	233, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − 𝑚) ≠ 0)
273	267, 259, 270, 272	divcan8d 39527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / ((!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)) · (𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
274	263, 273	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) = (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
275	274	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · ((𝐾 − 𝑚) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
276		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
277	260, 275, 276	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
278	277	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
279	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
280	100	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
281		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
282	279, 280, 281	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
283	282	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
284	283	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)) = ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))
285	278, 284	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · (𝐾 − 𝑚)) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) = (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
286	282	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝑚) − 1) = (𝐾 − (𝑚 + 1)))
287	286	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝐾 − (𝑚 + 1)) = ((𝐾 − 𝑚) − 1))
288	287	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1))) = (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))
289	288	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))))
290	207, 267, 270	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1))) = ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
291	289, 290	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
293	292	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) · (1 / (!‘((𝐾 − 𝑚) − 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))
294	258, 285, 293	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))))
295	218, 238	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1)))) = (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))
296	256, 294, 295	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
297	243, 245, 296	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))))) = if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1))))))
298	297	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚))) + (((𝐾 − 𝑚) · ((𝑥 + 𝐴)↑((𝐾 − 𝑚) − 1))) · ((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
299	204, 241, 298	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 < 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
300	188, 195, 299	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) ∧ ¬ 𝑚 = 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
301	187, 300	pm2.61dan 832	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ 𝐾) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
302	129, 134, 301	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 < 𝑚) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
303	128, 302	pm2.61dan 832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
304	303	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
305	103, 105, 304	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑚, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑚))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑚)))))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < (𝑚 + 1), 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − (𝑚 + 1)))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − (𝑚 + 1)))))))
306	11, 22, 33, 44, 97, 305	nn0indd 11474	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝐾 < 𝑁, 0, (((!‘𝐾) / (!‘(𝐾 − 𝑁))) · ((𝑥 + 𝐴)↑(𝐾 − 𝑁))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  𝒫 cpw 4158  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_pm cpm 7858  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  !cfa 13060   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   D cdv 23627   D^𝑛 cdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  etransclem17  40468