Theorem 2nodd 41812

Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	|- O = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( ( 2 x. x ) + 1 ) }

Assertion

Ref	Expression
2nodd	|- 2 e/ O

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   O( x, z)

Proof of Theorem 2nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 11455	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
2		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) = x -> ( ( 1 / 2 ) e. ZZ <-> x e. ZZ ) )
3	1, 2	mtbii 316	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) = x -> -. x e. ZZ )
4	3	con2i 134	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> -. ( 1 / 2 ) = x )
5		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> 1 e. CC )
6		zcn 11382	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
7		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> 2 e. CC )
8		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> 2 =/= 0 )
10	5, 6, 7, 9	divmul2d 10834	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) = x <-> 1 = ( 2 x. x ) ) )
11	4, 10	mtbid 314	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> -. 1 = ( 2 x. x ) )
12		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = 2 )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> ( 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = 2 ) )
14	7, 6	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
15		subadd2 10285	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 x. x ) e. CC ) -> ( ( 2 - 1 ) = ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = 2 ) )
16	15	bicomd 213	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 x. x ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = 2 <-> ( 2 - 1 ) = ( 2 x. x ) ) )
17	7, 5, 14, 16	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = 2 <-> ( 2 - 1 ) = ( 2 x. x ) ) )
18		2m1e1 11135	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - 1 ) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( 2 - 1 ) = 1 )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 - 1 ) = ( 2 x. x ) <-> 1 = ( 2 x. x ) ) )
21	13, 17, 20	3bitrd 294	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> 1 = ( 2 x. x ) ) )
22	11, 21	mtbird 315	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> -. 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) )
23	22	nrex 3000	. . . 4 |- -. E. x e. ZZ 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 )
24	23	intnan 960	. . 3 |- -. ( 2 e. ZZ /\ E. x e. ZZ 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) )
25		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( z = 2 -> ( z = ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
26	25	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = 2 -> ( E. x e. ZZ z = ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> E. x e. ZZ 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
27		oddinmgm.e	. . . 4 |- O = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( ( 2 x. x ) + 1 ) }
28	26, 27	elrab2 3366	. . 3 |- ( 2 e. O <-> ( 2 e. ZZ /\ E. x e. ZZ 2 = ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
29	24, 28	mtbir 313	. 2 |- -. 2 e. O
30	29	nelir 2900	1 |- 2 e/ O

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   E.wrex 2913   {crab 2916  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  oddinmgm  41815