Theorem 5oalem7 28519

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	|- A e. SH
5oalem5.2	|- B e. SH
5oalem5.3	|- C e. SH
5oalem5.4	|- D e. SH
5oalem5.5	|- F e. SH
5oalem5.6	|- G e. SH
5oalem5.7	|- R e. SH
5oalem5.8	|- S e. SH

Assertion

Ref

Expression

5oalem7

|- ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) C_ ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem7

Dummy variables h f g u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ee4anv 2184	. . . 4 |- ( E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
2		exrot4 2046	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
3		ee4anv 2184	. . . . . . 7 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
4	3	2exbii 1775	. . . . . 6 |- ( E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
5	2, 4	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
6	5	2exbii 1775	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
7		elin 3796	. . . . 5 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) /\ h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) )
8		5oalem5.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. SH
9		5oalem5.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. SH
10	8, 9	shseli 28175	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B h = ( x +h y ) )
11		r2ex 3061	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A E. y e. B h = ( x +h y ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) )
12	10, 11	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( A +H B ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) )
13		5oalem5.3	. . . . . . . . . 10 |- C e. SH
14		5oalem5.4	. . . . . . . . . 10 |- D e. SH
15	13, 14	shseli 28175	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( C +H D ) <-> E. z e. C E. w e. D h = ( z +h w ) )
16		r2ex 3061	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. C E. w e. D h = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) )
17	15, 16	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( C +H D ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) )
18	12, 17	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( h e. ( A +H B ) /\ h e. ( C +H D ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) )
19		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) <-> ( h e. ( A +H B ) /\ h e. ( C +H D ) ) )
20		ee4anv 2184	. . . . . . 7 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4ri 293	. . . . . 6 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) <-> h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) )
22		5oalem5.5	. . . . . . . . . 10 |- F e. SH
23		5oalem5.6	. . . . . . . . . 10 |- G e. SH
24	22, 23	shseli 28175	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( F +H G ) <-> E. f e. F E. g e. G h = ( f +h g ) )
25		r2ex 3061	. . . . . . . . 9 |- ( E. f e. F E. g e. G h = ( f +h g ) <-> E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) )
26	24, 25	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( F +H G ) <-> E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) )
27		5oalem5.7	. . . . . . . . . 10 |- R e. SH
28		5oalem5.8	. . . . . . . . . 10 |- S e. SH
29	27, 28	shseli 28175	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( R +H S ) <-> E. v e. R E. u e. S h = ( v +h u ) )
30		r2ex 3061	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. R E. u e. S h = ( v +h u ) <-> E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) )
31	29, 30	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( R +H S ) <-> E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) )
32	26, 31	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( h e. ( F +H G ) /\ h e. ( R +H S ) ) <-> ( E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) )
33		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) <-> ( h e. ( F +H G ) /\ h e. ( R +H S ) ) )
34		ee4anv 2184	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) <-> ( E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4ri 293	. . . . . 6 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) <-> h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) )
36	21, 35	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) /\ h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) )
37	7, 36	bitr4i 267	. . . 4 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
38	1, 6, 37	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
39	8, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 28	5oalem6 28518	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
40	39	exlimivv 1860	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
41	40	exlimivv 1860	. . . . 5 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	exlimivv 1860	. . . 4 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
43	42	exlimivv 1860	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
44	38, 43	sylbi 207	. 2 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	ssriv 3607	1 |- ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) C_ ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   +h cva 27777   SHcsh 27785   +H cph 27788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  5oai  28520