Theorem absneg 14017

Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absneg	|- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )

Proof of Theorem absneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjneg 13887	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( -u A x. ( * ` -u A ) ) = ( -u A x. -u ( * ` A ) ) )
3		cjcl 13845	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
4		mul2neg 10469	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( -u A x. -u ( * ` A ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
5	3, 4	mpdan 702	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( -u A x. -u ( * ` A ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
6	2, 5	eqtrd 2656	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u A x. ( * ` -u A ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
7	6	fveq2d 6195	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( -u A x. ( * ` -u A ) ) ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
8		negcl 10281	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
9		absval 13978	. . 3 |- ( -u A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( sqr ` ( -u A x. ( * ` -u A ) ) ) )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( sqr ` ( -u A x. ( * ` -u A ) ) ) )
11		absval 13978	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2666	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   x. cmul 9941   -ucneg 10267   *ccj 13836   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  absnid  14038  absimle  14049  abslt  14054  absle  14055  abssub  14066  abs2dif2  14073  sqreulem  14099  absnegi  14139  absnegd  14188  cnheibor  22754  ftalem3  24801  qqhcn  30035  jm2.26lem3  37568