Theorem ftalem3 24801

Description: Lemma for fta 24806. There exists a global minimum of the function abs o. F. The proof uses a circle of radius r where r is the value coming from ftalem1 24799; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	|- A = (coeff ` F )
ftalem.2	|- N = (deg ` F )
ftalem.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
ftalem.4	|- ( ph -> N e. NN )
ftalem3.5	|- D = { y e. CC | ( abs ` y ) <_ R }
ftalem3.6	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
ftalem3.7	|- ( ph -> R e. RR+ )
ftalem3.8	|- ( ph -> A. x e. CC ( R < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) < ( abs ` ( F ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ftalem3	|- ( ph -> E. z e. CC A. x e. CC ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, z, D   x, N   x, y, F, z   x, J, z   ph, x, y, z   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( y, z)   D( y)   R( z)   S( x, y, z)   J( y)   N( y, z)

Proof of Theorem ftalem3

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem3.5	. . . 4 |- D = { y e. CC | ( abs ` y ) <_ R }
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { y e. CC | ( abs ` y ) <_ R } C_ CC
3	1, 2	eqsstri 3635	. . 3 |- D C_ CC
4		ftalem3.6	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	cnfldtopon 22586	. . . . . . 7 |- J e. (TopOn ` CC )
6		resttopon 20965	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
7	5, 3, 6	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D )
8	7	toponunii 20721	. . . . 5 |- D = U. ( J ↾t D )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
10		cnxmet 22576	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
12		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
14		ftalem3.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. RR+ )
15	14	rpxrd 11873	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. RR* )
16	4	cnfldtopn 22585	. . . . . . . 8 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
18	17	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( 0 - y ) ) )
19	12, 18	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( 0 - y ) ) )
20		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u y = ( 0 - y )
21	20	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` -u y ) = ( abs ` ( 0 - y ) )
22		absneg 14017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( abs ` -u y ) = ( abs ` y ) )
23	21, 22	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( abs ` ( 0 - y ) ) = ( abs ` y ) )
24	19, 23	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) y ) = ( abs ` y ) )
25	24	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. CC -> ( ( 0 ( abs o. - ) y ) <_ R <-> ( abs ` y ) <_ R ) )
26	25	rabbiia 3185	. . . . . . . . 9 |- { y e. CC | ( 0 ( abs o. - ) y ) <_ R } = { y e. CC | ( abs ` y ) <_ R }
27	1, 26	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- D = { y e. CC | ( 0 ( abs o. - ) y ) <_ R }
28	16, 27	blcld 22310	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ R e. RR* ) -> D e. ( Clsd ` J ) )
29	11, 13, 15, 28	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
30	14	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. RR )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( abs ` y ) = ( abs ` x ) )
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( abs ` y ) <_ R <-> ( abs ` x ) <_ R ) )
33	32, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( abs ` x ) <_ R ) )
34	33	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( abs ` x ) <_ R )
35	34	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. x e. D ( abs ` x ) <_ R
36		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( s = R -> ( ( abs ` x ) <_ s <-> ( abs ` x ) <_ R ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( s = R -> ( A. x e. D ( abs ` x ) <_ s <-> A. x e. D ( abs ` x ) <_ R ) )
38	37	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ A. x e. D ( abs ` x ) <_ R ) -> E. s e. RR A. x e. D ( abs ` x ) <_ s )
39	30, 35, 38	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> E. s e. RR A. x e. D ( abs ` x ) <_ s )
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( J ↾t D ) = ( J ↾t D )
41	4, 40	cnheibor 22754	. . . . . . 7 |- ( D C_ CC -> ( ( J ↾t D ) e. Comp <-> ( D e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. x e. D ( abs ` x ) <_ s ) ) )
42	3, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( J ↾t D ) e. Comp <-> ( D e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. x e. D ( abs ` x ) <_ s ) )
43	29, 39, 42	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ↾t D ) e. Comp )
44		ftalem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
45		plycn 24017	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
47		abscncf 22704	. . . . . . . . 9 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> RR ) )
49	46, 48	cncfco 22710	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs o. F ) e. ( CC -cn-> RR ) )
50		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
51		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
52	4	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . 11 |- J e. Top
53	5	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. J
54	53	restid 16094	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( J ↾t CC ) = J )
55	52, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t CC ) = J
56	55	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- J = ( J ↾t CC )
57	4	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( J ↾t RR )
58	4, 56, 57	cncfcn 22712	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( J Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
59	50, 51, 58	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( J Cn ( topGen ` ran (,) ) )
60	49, 59	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs o. F ) e. ( J Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
61	53	cnrest 21089	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. F ) e. ( J Cn ( topGen ` ran (,) ) ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. F ) |` D ) e. ( ( J ↾t D ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
62	60, 3, 61	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs o. F ) |` D ) e. ( ( J ↾t D ) Cn ( topGen ` ran (,) ) ) )
63	14	rpge0d 11876	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ R )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( abs ` y ) = ( abs ` 0 ) )
65		abs0 14025	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` 0 ) = 0
66	64, 65	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( abs ` y ) = 0 )
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( abs ` y ) <_ R <-> 0 <_ R ) )
68	67, 1	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( 0 e. D <-> ( 0 e. CC /\ 0 <_ R ) )
69	13, 63, 68	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. D )
70		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 0 e. D -> D =/= (/) )
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> D =/= (/) )
72	8, 9, 43, 62, 71	evth2 22759	. . . 4 |- ( ph -> E. z e. D A. x e. D ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) <_ ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) )
73		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( z e. D -> ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) = ( ( abs o. F ) ` z ) )
74	73	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) = ( ( abs o. F ) ` z ) )
75		plyf 23954	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
76	44, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : CC --> CC )
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> F : CC --> CC )
78		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> z e. D )
79	3, 78	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> z e. CC )
80		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : CC --> CC /\ z e. CC ) -> ( ( abs o. F ) ` z ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
81	77, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( abs o. F ) ` z ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
82	74, 81	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
83		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) = ( ( abs o. F ) ` x ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) = ( ( abs o. F ) ` x ) )
85		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> x e. D )
86	3, 85	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> x e. CC )
87		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : CC --> CC /\ x e. CC ) -> ( ( abs o. F ) ` x ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
88	77, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( abs o. F ) ` x ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
89	84, 88	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
90	82, 89	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ x e. D ) -> ( ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) <_ ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
91	90	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( A. x e. D ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) <_ ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) <-> A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
92	91	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. D A. x e. D ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` z ) <_ ( ( ( abs o. F ) |` D ) ` x ) <-> E. z e. D A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
93	72, 92	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> E. z e. D A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
94		ssrexv 3667	. . 3 |- ( D C_ CC -> ( E. z e. D A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> E. z e. CC A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
95	3, 93, 94	mpsyl 68	. 2 |- ( ph -> E. z e. CC A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
96	69	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. D )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
99	98	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) )
100	99	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( 0 e. D -> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) )
101	96, 100	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) )
102	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> F : CC --> CC )
103		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : CC --> CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) e. CC )
104	102, 12, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( F ` 0 ) e. CC )
105	104	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> x e. ( CC \ D ) )
107	106	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> x e. CC )
108	102, 107	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
109	108	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
110		ftalem3.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. CC ( R < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) < ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> A. x e. CC ( R < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) < ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
112	106	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> -. x e. D )
113	33	baib 944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x e. D <-> ( abs ` x ) <_ R ) )
114	107, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( x e. D <-> ( abs ` x ) <_ R ) )
115	112, 114	mtbid 314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> -. ( abs ` x ) <_ R )
116	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> R e. RR )
117	107	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
118	116, 117	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( R < ( abs ` x ) <-> -. ( abs ` x ) <_ R ) )
119	115, 118	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> R < ( abs ` x ) )
120		rsp 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. CC ( R < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) < ( abs ` ( F ` x ) ) ) -> ( x e. CC -> ( R < ( abs ` x ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) < ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
121	111, 107, 119, 120	syl3c 66	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) < ( abs ` ( F ` x ) ) )
122	105, 109, 121	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
123		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> z e. CC )
124	102, 123	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
125	124	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
126		letr 10131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) /\ ( abs ` ( F ` 0 ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
127	125, 105, 109, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) /\ ( abs ` ( F ` 0 ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
128	122, 127	mpan2d 710	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ x e. ( CC \ D ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
129	128	ralrimdva 2969	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) -> A. x e. ( CC \ D ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
130	101, 129	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> A. x e. ( CC \ D ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
131	130	ancld 576	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) /\ A. x e. ( CC \ D ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) )
132		ralunb 3794	. . . . 5 |- ( A. x e. ( D u. ( CC \ D ) ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) <-> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) /\ A. x e. ( CC \ D ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
133		undif2 4044	. . . . . . 7 |- ( D u. ( CC \ D ) ) = ( D u. CC )
134		ssequn1 3783	. . . . . . . 8 |- ( D C_ CC <-> ( D u. CC ) = CC )
135	3, 134	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( D u. CC ) = CC
136	133, 135	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( D u. ( CC \ D ) ) = CC
137	136	raleqi 3142	. . . . 5 |- ( A. x e. ( D u. ( CC \ D ) ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) <-> A. x e. CC ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
138	132, 137	bitr3i 266	. . . 4 |- ( ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) /\ A. x e. ( CC \ D ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) <-> A. x e. CC ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
139	131, 138	syl6ib 241	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> A. x e. CC ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
140	139	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. z e. CC A. x e. D ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) -> E. z e. CC A. x e. CC ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
141	95, 140	mpd 15	1 |- ( ph -> E. z e. CC A. x e. CC ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   -cn->ccncf 22679  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  fta  24806