Theorem negcl 10281

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10269	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 10032	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 10280	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 706	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	syl5eqel 2705	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   - cmin 10266   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  negicn  10282  negcon1  10333  negdi  10338  negdi2  10339  negsubdi2  10340  neg2sub  10341  negcli  10349  negcld  10379  mulneg2  10467  mul2neg  10469  mulsub  10473  divneg  10719  divsubdir  10721  divsubdiv  10741  eqneg  10745  div2neg  10748  divneg2  10749  zeo  11463  sqneg  12923  binom2sub  12981  shftval4  13817  shftcan1  13823  shftcan2  13824  crim  13855  resub  13867  imsub  13875  cjneg  13887  cjsub  13889  absneg  14017  abs2dif2  14073  sqreulem  14099  sqreu  14100  subcn2  14325  risefallfac  14755  fallrisefac  14756  fallfac0  14759  binomrisefac  14773  efcan  14826  efne0  14827  efneg  14828  efsub  14830  sinneg  14876  cosneg  14877  tanneg  14878  efmival  14883  sinhval  14884  coshval  14885  sinsub  14898  cossub  14899  sincossq  14906  cnaddablx  18271  cnaddabl  18272  cnaddinv  18274  cncrng  19767  cnfldneg  19772  cnlmod  22940  cnstrcvs  22941  cncvs  22945  plyremlem  24059  reeff1o  24201  sin2pim  24237  cos2pim  24238  cxpsub  24428  cxpsqrt  24449  logrec  24501  asinlem3  24598  asinneg  24613  acosneg  24614  sinasin  24616  asinsin  24619  cosasin  24631  atantan  24650  ex-exp  27307  cnaddabloOLD  27436  hvsubdistr2  27907  spanunsni  28438  ltflcei  33397  dvasin  33496  sub2times  39485  cosknegpi  40080  etransclem18  40469  etransclem46  40497  altgsumbcALT  42131  sinhpcosh  42481