Theorem absimle 14049

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	|- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 10282	. . . . 5 |- -u _i e. CC
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u _i e. CC )
3		id 22	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 10060	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		absrele 14048	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
7		imre 13848	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
8	7	fveq2d 6195	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) )
9		absmul 14034	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
10	1, 9	mpan 706	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
11		ax-icn 9995	. . . . . . 7 |- _i e. CC
12		absneg 14017	. . . . . . 7 |- ( _i e. CC -> ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i )
14		absi 14026	. . . . . 6 |- ( abs ` _i ) = 1
15	13, 14	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( abs ` -u _i ) = 1
16	15	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
17		abscl 14018	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
18	17	recnd 10068	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
19	18	mulid2d 10058	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
20	16, 19	syl5eq 2668	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
21	10, 20	eqtr2d 2657	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
22	6, 8, 21	3brtr4d 4685	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   <_ cle 10075   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  rlimrecl  14311  imcn2  14332  caucvgr  14406  sin01bnd  14915  recld2  22617  cnheiborlem  22753  aaliou2b  24096  efif1olem3  24290  logcnlem3  24390  logcnlem4  24391  efopnlem1  24402  abscxpbnd  24494  bddiblnc  33480  cntotbnd  33595  dstregt0  39493  absimlere  39710