Theorem jm2.26lem3 37568

Description: Lemma for jm2.26 37569. Use acongrep 37547 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
4	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ZZ )
5		rmyabs 37525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm ( abs ` K ) ) )
7	3	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
8	7	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. RR )
9		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ K )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ K )
12	8, 11	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` K ) = K )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` K ) ) = ( A Yrm K ) )
14	6, 13	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) = ( A Yrm K ) )
15		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
18		rmyabs 37525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
19	1, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
20	16	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. RR )
22		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ M )
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> 0 <_ M )
25	21, 24	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` M ) = M )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( abs ` M ) ) = ( A Yrm M ) )
27	19, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm M ) )
28	14, 27	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
29		frmy 37479	. . . . . . . . . . . 12 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
30	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
31	1, 4, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
32	31	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. RR )
33	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
34	1, 17, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
35	34	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. RR )
36	32, 35	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. RR )
37		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN )
38	37	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ZZ )
39		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
41	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
42	1, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
43	42	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
44	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
45	1, 38, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
46	45	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
47	43, 46	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
48		frmx 37478	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
49	48	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
50	1, 38, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
51	50	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
52		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
54		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( K <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
57	53, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
58		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ( 0 ... N ) )
59		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M <_ N )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M <_ N )
61		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ N <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) )
63	60, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) )
65		le2add 10510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A Yrm K ) e. RR /\ ( A Yrm M ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
68	57, 64, 67	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
70	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
71	69, 70	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) )
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K =/= M -> K =/= M )
74	73	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K =/= M -> M =/= K )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= K )
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> K = N )
77	75, 76	neeqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> M =/= N )
78	77	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K =/= M /\ K = N ) -> -. M = N )
79	78	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> -. M = N )
80		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
81		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
82	80, 81	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
83	82	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
84		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... N ) )
86		fzm1 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) ) )
87	86	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
88	83, 85, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) )
89		orel2 398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = N -> ( ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ M = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
90	79, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
91		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> M <_ ( N - 1 ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> M <_ ( N - 1 ) )
93		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
96	92, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
97		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K e. ( 0 ... N ) )
98		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K <_ N )
100		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K <_ N <-> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) )
102	99, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) )
104		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A Yrm M ) e. RR /\ ( A Yrm K ) e. RR ) /\ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( ( A Yrm M ) <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) /\ ( A Yrm K ) <_ ( A Yrm N ) ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) ) )
107	96, 103, 106	mp2and 715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm M ) + ( A Yrm K ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
108	72, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) /\ K = N ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
109	37	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. NN0 )
110	109, 81	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
111		fzm1 12420	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) ) )
112	111	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
113	110, 97, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) \/ K = N ) )
114	68, 108, 113	mpjaodan 827	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) <_ ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) )
115		jm2.24 37530	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
116	1, 38, 115	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) < ( A Xrm N ) )
118	28, 117	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
119		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= M )
120		rmyeq 37521	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K = M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm M ) ) )
121	120	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) ) )
123	119, 122	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
124	7	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K e. RR )
125		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 e. RR )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = -u M )
127	22	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> 0 <_ M )
128	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. RR )
129	128	le0neg2d 10600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 <_ M <-> -u M <_ 0 ) )
130	127, 129	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> -u M <_ 0 )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> -u M <_ 0 )
132	126, 131	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K <_ 0 )
133	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> 0 <_ K )
134		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( K = 0 <-> ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) )
135	134	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( K <_ 0 /\ 0 <_ K ) ) -> K = 0 )
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = 0 )
137		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = 0 )
138		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = -u M )
139	138, 137	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> -u M = 0 )
140	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> M e. CC )
141	140	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M e. CC )
142	141	negeq0d 10384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> ( M = 0 <-> -u M = 0 ) )
143	139, 142	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> M = 0 )
144	137, 143	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) /\ K = 0 ) -> K = M )
145	136, 144	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K = -u M ) -> K = M )
146	145	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K = -u M -> K = M ) )
147	146	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> K =/= -u M ) )
148	147	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> K =/= -u M )
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> M e. ZZ )
150	149	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> -u M e. ZZ )
151		rmyeq 37521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K = -u M <-> ( A Yrm K ) = ( A Yrm -u M ) ) )
152	151	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( K =/= -u M <-> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) ) )
154	148, 153	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm -u M ) )
155		rmyneg 37493	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
156	1, 17, 155	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
157	154, 156	neeqtrd 2863	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
158	118, 123, 157	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ K =/= M ) -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) )
159	158	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) )
160		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
161	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> K e. ZZ )
162	160, 161, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
163	162	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) e. CC )
164	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> M e. ZZ )
165	160, 164, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
166	165	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
167	163, 166	negsubd 10398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
169	166	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. CC )
170	163, 169	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
171	170	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
172	163	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm K ) ) e. RR )
173	166	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. RR )
174	172, 173	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
175		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
177	176	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> N e. ZZ )
178	49	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
179	160, 177, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
180	179	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
181	163, 169	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
182		absneg 14017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) = ( abs ` ( A Yrm M ) ) )
183	182	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Yrm M ) e. CC -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) )
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) = ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` -u ( A Yrm M ) ) ) )
186	181, 185	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
187		simpr1 1067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
189	168, 188	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
190	162, 165	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
191	190	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. CC )
192	191	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
193	192, 180	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
194	189, 193	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) )
195		simpr2 1068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) )
196	163, 166, 195	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
197		dvdsleabs 15033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) ) ) )
199	194, 198	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) )
200	163, 166	subnegd 10399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) = ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) )
201	200	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) = ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) )
202	163, 166	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) e. CC )
203	202	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
204	163, 166	abstrid 14195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) )
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) + ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
206	201, 205	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) )
207	165	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -u ( A Yrm M ) e. ZZ )
208	162, 207	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ )
209	208	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. CC )
210	209	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) e. RR )
211	210, 180	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) <-> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
212	206, 211	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
213		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) )
214	163, 169, 213	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 )
215		dvdsleabs 15033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) <_ ( abs ` ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
217	212, 216	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) )
218	199, 217	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
219		pm4.56 516	. . . . . 6 |- ( ( -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) /\ -. ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
220	218, 219	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) /\ ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
221	220	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( A Yrm K ) ) + ( abs ` ( A Yrm M ) ) ) < ( A Xrm N ) /\ ( A Yrm K ) =/= ( A Yrm M ) /\ ( A Yrm K ) =/= -u ( A Yrm M ) ) -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
222	159, 221	syld 47	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( K =/= M -> -. ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
223	222	necon4ad 2813	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) -> K = M ) )
224	223	3impia 1261	1 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> K = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   abscabs 13974   || cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.26  37569