Theorem sqreulem 14099

Description: Lemma for sqreu 14100: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrteulem.1	|- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sqreulem	|- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrteulem.1	. . . . 5 |- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
2	1	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 )
3		abscl 14018	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
4		absge0 14027	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
5		resqrtcl 13994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
9	3	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
10		addcl 10018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
11	9, 10	mpancom 703	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
13		abscl 14018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
15	14	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
17	11	abs00ad 14030	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
18	17	necon3bid 2838	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) )
19	18	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 )
20	12, 16, 19	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
21	8, 20	sqmuld 13020	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
22	2, 21	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
23	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
24	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
25		resqrtth 13996	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
27	12, 16, 19	sqdivd 13021	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) )
28		absvalsq 14020	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
29		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
30		mulass 10024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
31	29, 30	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
32	9, 31	mpancom 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
33		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
34	29, 9, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
35		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
36	34, 35	mpancom 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
37	32, 36	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
38	28, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
39		cjcl 13845	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
40		adddi 10025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC ) -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
41	39, 34, 40	mpd3an23 1426	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
43		sqval 12922	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
44	42, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
45		binom2 12979	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
46	9, 45	mpancom 703	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
47		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A e. CC )
48	39, 34	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
49	47, 48, 47	adddid 10064	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
51	9, 34	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
52	9, 39	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) e. CC )
53	51, 52	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
54	9, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. CC )
55	54	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) )
56		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
57	29, 56	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
58	9, 9, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
59	9	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) )
60		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
61	39, 60	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
62	28, 59, 61	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) )
64	55, 58, 63	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) )
66	9, 39, 34	adddid 10064	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
67	53, 65, 66	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
69		cjadd 13881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
70	9, 69	mpancom 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
71	3	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( * ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
73	70, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) )
75	9, 47, 9, 39	muladdd 10489	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
76	74, 75	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
77		absvalsq 14020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
78	11, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
79		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
80	39, 79	mpancom 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
81	54, 80	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) e. CC )
82		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
83	9, 82	mpancom 703	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
84	81, 52, 83	addassd 10062	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
85	76, 78, 84	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
86	9, 48, 47	adddid 10064	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
87	68, 85, 86	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
88	50, 87	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
89	88	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
90	27, 89	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
91	26, 90	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
92		addcl 10018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
93	48, 92	mpancom 703	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
94	9, 47, 93	mul12d 10245	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
95	94	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
96	95	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
97	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
98		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
99	93, 98	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
100	99	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
101	9, 93	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
102	101	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
103		sqeq0 12927	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
104	15, 103	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
105	87	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
106	104, 105, 17	3bitr3rd 299	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
107	106	necon3bid 2838	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 ) )
108	107	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 )
109	97, 100, 102, 108	divassd 10836	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
110		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> A e. CC )
111	110, 102, 108	divcan4d 10807	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = A )
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) = A )
113	22, 91, 112	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = A )
114	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
115	11	addcjd 13952	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
116		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
117	11	recld 13934	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
118		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
119	116, 117, 118	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
120	115, 119	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
121	120	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
122	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
123	121, 122, 19	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
124	114, 123	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR )
125		sqrtge0 13998	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
126	3, 4, 125	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
127	126	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
128		negcl 10281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
129		releabs 14061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
131		abscl 14018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
133	128	recld 13934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. RR )
134	132, 133	subge0d 10617	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) <-> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) ) )
135	130, 134	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
136		readd 13866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
137	9, 136	mpancom 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
138	3	rered 13964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
139		absneg 14017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
140	138, 139	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` -u A ) )
141		negneg 10331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = ( Re ` A ) )
143	128	renegd 13949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = -u ( Re ` -u A ) )
144	142, 143	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = -u ( Re ` -u A ) )
145	140, 144	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) = ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) )
146	132	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. CC )
147	133	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. CC )
148	146, 147	negsubd 10398	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
149	137, 145, 148	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
150	135, 149	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
151		0le2 11111	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
152		mulge0 10546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) /\ ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
153	116, 151, 152	mpanl12 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
154	117, 150, 153	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
155	154, 115	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
156	155	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
157		absge0 14027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
158	12, 157	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
159	122, 158, 19	ne0gt0d 10174	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
160		divge0 10892	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
161	121, 156, 122, 159, 160	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
162	114, 123, 127, 161	mulge0d 10604	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
163		2pos 11112	. . . . 5 |- 0 < 2
164		divge0 10892	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
165	116, 163, 164	mpanr12 721	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
166	124, 162, 165	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
167	8, 20	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. CC )
168	1, 167	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> B e. CC )
169		reval 13846	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
170	168, 169	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
171	1	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
172	1	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( * ` B ) = ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
173	8, 20	cjmuld 13961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
174	172, 173	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
175	6	cjred 13966	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
177	12, 16, 19	cjdivd 13963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
178	122	cjred 13966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
180	177, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
181	176, 180	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
182	174, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
183	182	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
184	12	cjcld 13936	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
185	184, 16, 19	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
186	8, 20, 185	adddid 10064	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
187	171, 183, 186	3eqtr4a 2682	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
188	12, 184, 16, 19	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
189	188	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
190	187, 189	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
191	190	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
192	170, 191	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
193	166, 192	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )
194		subneg 10330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
195	9, 194	mpancom 703	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
196	195	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
197	9, 128	subeq0ad 10402	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
198	196, 197	bitr3d 270	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
199	198	necon3bid 2838	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( abs ` A ) =/= -u A ) )
200	199	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) =/= -u A )
201		resqcl 12931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR )
202		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . 13 |- _i e. CC
203		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
204	202, 168, 203	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
205		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i ^ 2 ) = -u 1 )
207	206, 113	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. A ) )
208		mulm1 10471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
209	208	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
210	204, 207, 209	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = -u A )
211	210	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR <-> -u A e. RR ) )
212	201, 211	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> -u A e. RR ) )
213		renegcl 10344	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. RR -> -u -u A e. RR )
214	141	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u -u A e. RR <-> A e. RR ) )
215	213, 214	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( -u A e. RR -> A e. RR ) )
216	110, 212, 215	sylsyld 61	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A e. RR ) )
217		sqge0 12940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) )
218	210	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) <-> 0 <_ -u A ) )
219	217, 218	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ -u A ) )
220		le0neg1 10536	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
221	220	biimprcd 240	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ -u A -> ( A e. RR -> A <_ 0 ) )
222	219, 216, 221	syl6c 70	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A <_ 0 ) )
223	216, 222	jcad 555	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( A e. RR /\ A <_ 0 ) ) )
224		absnid 14038	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
225	223, 224	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( abs ` A ) = -u A ) )
226	225	necon3ad 2807	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) =/= -u A -> -. ( _i x. B ) e. RR ) )
227	200, 226	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR )
228		rpre 11839	. . . 4 |- ( ( _i x. B ) e. RR+ -> ( _i x. B ) e. RR )
229	227, 228	nsyl 135	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
230		df-nel 2898	. . 3 |- ( ( _i x. B ) e/ RR+ <-> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
231	229, 230	sylibr 224	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i x. B ) e/ RR+ )
232	113, 193, 231	3jca 1242	1 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   ^cexp 12860   *ccj 13836   Recre 13837   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  sqreu  14100  cphsqrtcl2  22986