Theorem ac6s2 9308

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Slightly strengthened version of ac6s3 9309. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. _V
ac6s.2	|- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ac6s2	|- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, f, A   x, y, f   ph, f   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, f)   A( y)

Proof of Theorem ac6s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3220	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
2	1	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph <-> A. x e. A E. y ph )
3		ac6s.1	. . . 4 |- A e. _V
4		ac6s.2	. . . 4 |- ( y = ( f ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	ac6s 9306	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) )
6		ffn 6045	. . . . 5 |- ( f : A --> _V -> f Fn A )
7	6	anim1i 592	. . . 4 |- ( ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
8	7	eximi 1762	. . 3 |- ( E. f ( f : A --> _V /\ A. x e. A ps ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
9	5, 8	syl 17	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. _V ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )
10	2, 9	sylbir 225	1 |- ( A. x e. A E. y ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-en 7956  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  ac6s3  9309  ac6s4  9312  ptpconn  31215