Theorem ptpconn 31215

Description: The topological product of a collection of path-connected spaces is path-connected. The proof uses the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptpconn	|- ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) -> ( Xt_ ` F ) e. PConn )

Proof of Theorem ptpconn

Dummy variables f x y g t z i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pconntop 31207	. . . . 5 |- ( x e. PConn -> x e. Top )
2	1	ssriv 3607	. . . 4 |- PConn C_ Top
3		fss 6056	. . . 4 |- ( ( F : A -->PConn /\ PConn C_ Top ) -> F : A --> Top )
4	2, 3	mpan2 707	. . 3 |- ( F : A -->PConn -> F : A --> Top )
5		pttop 21385	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
6	4, 5	sylan2 491	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
7		fvi 6255	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( _I ` A ) = A )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( _I ` A ) = A )
9	8	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( t e. ( _I ` A ) <-> t e. A ) )
10	9	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. ( _I ` A ) ) -> t e. A )
11		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> F : A -->PConn )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. PConn )
13		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> x e. U. ( Xt_ ` F ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
15	14	ptuni 21397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ t e. A U. ( F ` t ) = U. ( Xt_ ` F ) )
16	4, 15	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) -> X_ t e. A U. ( F ` t ) = U. ( Xt_ ` F ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> X_ t e. A U. ( F ` t ) = U. ( Xt_ ` F ) )
18	13, 17	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> x e. X_ t e. A U. ( F ` t ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
20	19	elixp 7915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X_ t e. A U. ( F ` t ) <-> ( x Fn A /\ A. t e. A ( x ` t ) e. U. ( F ` t ) ) )
21	18, 20	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( x Fn A /\ A. t e. A ( x ` t ) e. U. ( F ` t ) ) )
22	21	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> A. t e. A ( x ` t ) e. U. ( F ` t ) )
23	22	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. A ) -> ( x ` t ) e. U. ( F ` t ) )
24		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> y e. U. ( Xt_ ` F ) )
25	24, 17	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> y e. X_ t e. A U. ( F ` t ) )
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
27	26	elixp 7915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. X_ t e. A U. ( F ` t ) <-> ( y Fn A /\ A. t e. A ( y ` t ) e. U. ( F ` t ) ) )
28	25, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( y Fn A /\ A. t e. A ( y ` t ) e. U. ( F ` t ) ) )
29	28	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> A. t e. A ( y ` t ) e. U. ( F ` t ) )
30	29	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. A ) -> ( y ` t ) e. U. ( F ` t ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` t ) = U. ( F ` t )
32	31	pconncn 31206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` t ) e. PConn /\ ( x ` t ) e. U. ( F ` t ) /\ ( y ` t ) e. U. ( F ` t ) ) -> E. f e. ( II Cn ( F ` t ) ) ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) )
33	12, 23, 30, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. A ) -> E. f e. ( II Cn ( F ` t ) ) ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) )
34		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. f e. ( II Cn ( F ` t ) ) ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) <-> E. f ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. A ) -> E. f ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) )
36	10, 35	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ t e. ( _I ` A ) ) -> E. f ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> A. t e. ( _I ` A ) E. f ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) )
38		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( _I ` A ) e. _V
39		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( f = ( g ` t ) -> ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) <-> ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) ) )
40		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g ` t ) -> ( f ` 0 ) = ( ( g ` t ) ` 0 ) )
41	40	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g ` t ) -> ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) <-> ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) ) )
42		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g ` t ) -> ( f ` 1 ) = ( ( g ` t ) ` 1 ) )
43	42	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g ` t ) -> ( ( f ` 1 ) = ( y ` t ) <-> ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) )
44	41, 43	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = ( g ` t ) -> ( ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) <-> ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) )
45	39, 44	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = ( g ` t ) -> ( ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) <-> ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) )
46	38, 45	ac6s2 9308	. . . . 5 |- ( A. t e. ( _I ` A ) E. f ( f e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( f ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) -> E. g ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) )
47	37, 46	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> E. g ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) )
48		iitopon 22682	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
49	48	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
50		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> A e. V )
51	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> F : A -->PConn )
52	51, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> F : A --> Top )
53	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( _I ` A ) = A )
54	53	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( i e. ( _I ` A ) <-> i e. A ) )
55	54	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> i e. ( _I ` A ) )
56		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = i -> ( g ` t ) = ( g ` i ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = i -> ( F ` t ) = ( F ` i ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = i -> ( II Cn ( F ` t ) ) = ( II Cn ( F ` i ) ) )
60	57, 59	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = i -> ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) <-> ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) ) )
61	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = i -> ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( ( g ` i ) ` 0 ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = i -> ( x ` t ) = ( x ` i ) )
63	61, 62	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = i -> ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) <-> ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) ) )
64	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = i -> ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( ( g ` i ) ` 1 ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = i -> ( y ` t ) = ( y ` i ) )
66	64, 65	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = i -> ( ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) <-> ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) )
67	63, 66	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = i -> ( ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) <-> ( ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) /\ ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) ) )
68	60, 67	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = i -> ( ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) <-> ( ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) /\ ( ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) /\ ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) ) ) )
69	68	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) /\ i e. ( _I ` A ) ) -> ( ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) /\ ( ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) /\ ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) ) )
70	56, 69	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. ( _I ` A ) ) -> ( ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) /\ ( ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) /\ ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) ) )
71	55, 70	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) /\ ( ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) /\ ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) ) )
72	71	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) )
73		iiuni 22684	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
74		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` i ) = U. ( F ` i )
75	73, 74	cnf 21050	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` i ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) -> ( g ` i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F ` i ) )
76	72, 75	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( g ` i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F ` i ) )
77	76	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( g ` i ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) )
78	77, 72	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) e. ( II Cn ( F ` i ) ) )
79	14, 49, 50, 52, 78	ptcn 21430	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) )
80	71	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) /\ ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) ) )
81	80	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( ( g ` i ) ` 0 ) = ( x ` i ) )
82	81	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) = ( i e. A |-> ( x ` i ) ) )
83		0elunit 12290	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
84		mptexg 6484	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) e. _V )
85	50, 84	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) e. _V )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( ( g ` i ) ` z ) = ( ( g ` i ) ` 0 ) )
87	86	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) = ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) )
89	87, 88	fvmptg 6280	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) = ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) )
90	83, 85, 89	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) = ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 0 ) ) )
91	21	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> x Fn A )
92	91	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> x Fn A )
93		dffn5 6241	. . . . . . 7 |- ( x Fn A <-> x = ( i e. A |-> ( x ` i ) ) )
94	92, 93	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> x = ( i e. A |-> ( x ` i ) ) )
95	82, 90, 94	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) = x )
96	80	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) /\ i e. A ) -> ( ( g ` i ) ` 1 ) = ( y ` i ) )
97	96	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) = ( i e. A |-> ( y ` i ) ) )
98		1elunit 12291	. . . . . . 7 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
99		mptexg 6484	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) e. _V )
100	50, 99	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) e. _V )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( ( g ` i ) ` z ) = ( ( g ` i ) ` 1 ) )
102	101	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) = ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) )
103	102, 88	fvmptg 6280	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) = ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) )
104	98, 100, 103	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) = ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` 1 ) ) )
105	28	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> y Fn A )
106	105	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> y Fn A )
107		dffn5 6241	. . . . . . 7 |- ( y Fn A <-> y = ( i e. A |-> ( y ` i ) ) )
108	106, 107	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> y = ( i e. A |-> ( y ` i ) ) )
109	97, 104, 108	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) = y )
110		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) )
111	110	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) -> ( ( f ` 0 ) = x <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) = x ) )
112		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) )
113	112	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) -> ( ( f ` 1 ) = y <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) = y ) )
114	111, 113	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) = y ) ) )
115	114	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) /\ ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( i e. A |-> ( ( g ` i ) ` z ) ) ) ` 1 ) = y ) ) -> E. f e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
116	79, 95, 109, 115	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( g Fn ( _I ` A ) /\ A. t e. ( _I ` A ) ( ( g ` t ) e. ( II Cn ( F ` t ) ) /\ ( ( ( g ` t ) ` 0 ) = ( x ` t ) /\ ( ( g ` t ) ` 1 ) = ( y ` t ) ) ) ) ) -> E. f e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
117	47, 116	exlimddv 1863	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> E. f e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
118	117	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) -> A. x e. U. ( Xt_ ` F ) A. y e. U. ( Xt_ ` F ) E. f e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
119		eqid 2622	. . 3 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
120	119	ispconn 31205	. 2 |- ( ( Xt_ ` F ) e. PConn <-> ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. U. ( Xt_ ` F ) A. y e. U. ( Xt_ ` F ) E. f e. ( II Cn ( Xt_ ` F ) ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
121	6, 118, 120	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. V /\ F : A -->PConn ) -> ( Xt_ ` F ) e. PConn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678  PConncpconn 31201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-ii 22680  df-pconn 31203

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