ackbij1lem18 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ackbij1lem18		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem ackbij1lem18 9059

Description: Lemma for ackbij1 9060. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
ackbij.f

**Assertion**
Ref	Expression
ackbij1lem18

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ackbij1lem18 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3737	. . . 4 $\$ $\$
2		ackbij.f	. . . . 5
3	2	ackbij1lem11 9052	. . . 4 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
4	1, 3	mpan2 707	. . 3 $\$ $\$
5		difss 3737	. . . . . . 7 $\$
6		omsson 7069	. . . . . . 7
7	5, 6	sstri 3612	. . . . . 6 $\$
8		ominf 8172	. . . . . . . 8
9		inss2 3834	. . . . . . . . 9
10	9	sseli 3599	. . . . . . . 8
11		difinf 8230	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
12	8, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 $\$
13		0fin 8188	. . . . . . . . 9
14		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
15	13, 14	mpbiri 248	. . . . . . . 8 $\$ $\$
16	15	necon3bi 2820	. . . . . . 7 $\$ $\$
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 $\$
18		onint 6995	. . . . . 6 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
19	7, 17, 18	sylancr 695	. . . . 5 $\$ $\$
20	19	eldifad 3586	. . . 4 $\$
21		ackbij1lem4 9045	. . . 4 $\$ $\$
22	20, 21	syl 17	. . 3 $\$
23		ackbij1lem6 9047	. . 3 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
24	4, 22, 23	syl2anc 693	. 2 $\$ $\$ $\$
25	19	eldifbd 3587	. . . . . 6 $\$
26		disjsn 4246	. . . . . 6 $\$ $\$
27	25, 26	sylibr 224	. . . . 5 $\$
28		ssdisj 4026	. . . . 5 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
29	1, 27, 28	sylancr 695	. . . 4 $\$ $\$ $\$
30	2	ackbij1lem9 9050	. . . 4 $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
31	4, 22, 29, 30	syl3anc 1326	. . 3 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
32	2	ackbij1lem14 9055	. . . . 5 $\$ $\$ $\$
33	20, 32	syl 17	. . . 4 $\$ $\$
34	33	oveq2d 6666	. . 3 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
35	2	ackbij1lem10 9051	. . . . . . 7
36	35	ffvelrni 6358	. . . . . 6 $\$ $\$ $\$ $\$
37	4, 36	syl 17	. . . . 5 $\$ $\$
38		ackbij1lem3 9044	. . . . . . 7 $\$ $\$
39	20, 38	syl 17	. . . . . 6 $\$
40	35	ffvelrni 6358	. . . . . 6 $\$ $\$
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 $\$
42		nnasuc 7686	. . . . 5 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
43	37, 41, 42	syl2anc 693	. . . 4 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
44		incom 3805	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
45		disjdif 4040	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$
46	44, 45	eqtri 2644	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 $\$ $\$ $\$
48	2	ackbij1lem9 9050	. . . . . . 7 $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
49	4, 39, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . 6 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
50		uncom 3757	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
51		onnmin 7003	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$ $\$ $\$
52	7, 51	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
53	52	con2i 134	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$
55		ordom 7074	. . . . . . . . . . . . . . 15
56		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $\$
57	55, 20, 56	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
58	57	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
59		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$
60	59	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
61	60	orrd 393	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\$
62	61	orcomd 403	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\/$
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ $\/$
64		orel1 397	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\/$
65	54, 63, 64	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
66	65	ex 450	. . . . . . . . . 10 $\$
67	66	ssrdv 3609	. . . . . . . . 9 $\$
68		undif 4049	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$
69	67, 68	sylib 208	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$
70	50, 69	syl5eq 2668	. . . . . . 7 $\$ $\$ $\$
71	70	fveq2d 6195	. . . . . 6 $\$ $\$ $\$
72	49, 71	eqtr3d 2658	. . . . 5 $\$ $\$ $\$
73		suceq 5790	. . . . 5 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
74	72, 73	syl 17	. . . 4 $\$ $\$ $\$
75	43, 74	eqtrd 2656	. . 3 $\$ $\$ $\$
76	31, 34, 75	3eqtrd 2660	. 2 $\$ $\$ $\$
77		fveq2 6191	. . . 4 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
78	77	eqeq1d 2624	. . 3 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
79	78	rspcev 3309	. 2 $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
80	24, 76, 79	syl2anc 693	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cint 4475

ciun 4520

cmpt 4729

cxp 5112

word 5722

con0 5723

csuc 5725

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

coa 7557

cfn 7955

ccrd 8761

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990

This theorem is referenced by: ackbij1 9060

W3C validator