Theorem ackbij1lem9 9050

Description: Lemma for ackbij1 9060. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	|- F = ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem9	|- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F ` ( A u. B ) ) = ( ( F ` A ) +o ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P om i^i Fin ) C_ Fin
2	1	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P om i^i Fin ) -> A e. Fin )
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. Fin )
4		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
5		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P om i^i Fin ) C_ ~P om
6	5	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( ~P om i^i Fin ) -> A e. ~P om )
7	6	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( ~P om i^i Fin ) -> A C_ om )
8	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A C_ om )
9		onfin2 8152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- om = ( On i^i Fin )
10		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( On i^i Fin ) C_ Fin
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- om C_ Fin
12	8, 11	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A C_ Fin )
13	12	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. A ) -> y e. Fin )
14		pwfi 8261	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin <-> ~P y e. Fin )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. A ) -> ~P y e. Fin )
16		xpfi 8231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ ~P y e. Fin ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
17	4, 15, 16	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. A ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
18	17	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A. y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
19		iunfi 8254	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) -> U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
20	3, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
21		ficardid 8788	. . . . . . 7 |- ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin -> ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) )
23	1	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( ~P om i^i Fin ) -> B e. Fin )
24	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. Fin )
25	5	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ( ~P om i^i Fin ) -> B e. ~P om )
26	25	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( ~P om i^i Fin ) -> B C_ om )
27	26	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B C_ om )
28	27, 11	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B C_ Fin )
29	28	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. B ) -> y e. Fin )
30	29, 14	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. B ) -> ~P y e. Fin )
31	4, 30, 16	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. B ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
32	31	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A. y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
33		iunfi 8254	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. Fin /\ A. y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) -> U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
34	24, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
35		ficardid 8788	. . . . . . 7 |- ( U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin -> ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) )
37		cdaen 8995	. . . . . 6 |- ( ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) /\ ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) -> ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ~~ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) )
38	22, 36, 37	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ~~ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) )
39		djudisj 5561	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) i^i U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) = (/) )
40	39	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) i^i U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) = (/) )
41		cdaun 8994	. . . . . . 7 |- ( ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin /\ U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin /\ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) i^i U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) = (/) ) -> ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) u. U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) )
42	20, 34, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) u. U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) )
43		iunxun 4605	. . . . . 6 |- U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) = ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) u. U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) )
44	42, 43	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) )
45		entr 8008	. . . . 5 |- ( ( ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ~~ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) /\ ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) +c U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ~~ U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) ) -> ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ~~ U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) )
46	38, 44, 45	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ~~ U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) )
47		carden2b 8793	. . . 4 |- ( ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ~~ U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) -> ( card ` ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ) = ( card ` U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ) = ( card ` U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) ) )
49		ficardom 8787	. . . . 5 |- ( U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) e. Fin -> ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) e. om )
50	20, 49	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) e. om )
51		ficardom 8787	. . . . 5 |- ( U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) e. Fin -> ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) e. om )
52	34, 51	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) e. om )
53		nnacda 9023	. . . 4 |- ( ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) e. om /\ ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) e. om ) -> ( card ` ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ) = ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +o ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +c ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) ) = ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +o ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) )
55	48, 54	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( card ` U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) ) = ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +o ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) )
56		ackbij1lem6 9047	. . . 4 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) -> ( A u. B ) e. ( ~P om i^i Fin ) )
57	56	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. ( ~P om i^i Fin ) )
58		ackbij.f	. . . 4 |- F = ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) )
59	58	ackbij1lem7 9048	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. ( ~P om i^i Fin ) -> ( F ` ( A u. B ) ) = ( card ` U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) ) )
60	57, 59	syl 17	. 2 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F ` ( A u. B ) ) = ( card ` U_ y e. ( A u. B ) ( { y } X. ~P y ) ) )
61	58	ackbij1lem7 9048	. . . 4 |- ( A e. ( ~P om i^i Fin ) -> ( F ` A ) = ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) )
62	58	ackbij1lem7 9048	. . . 4 |- ( B e. ( ~P om i^i Fin ) -> ( F ` B ) = ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) )
63	61, 62	oveqan12d 6669	. . 3 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) ) -> ( ( F ` A ) +o ( F ` B ) ) = ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +o ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) )
64	63	3adant3 1081	. 2 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( F ` A ) +o ( F ` B ) ) = ( ( card ` U_ y e. A ( { y } X. ~P y ) ) +o ( card ` U_ y e. B ( { y } X. ~P y ) ) ) )
65	55, 60, 64	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( A e. ( ~P om i^i Fin ) /\ B e. ( ~P om i^i Fin ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F ` ( A u. B ) ) = ( ( F ` A ) +o ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Oncon0 5723   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   cardccrd 8761   +c ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9053  ackbij1lem13  9054  ackbij1lem14  9055  ackbij1lem16  9057  ackbij1lem18  9059