Theorem ackbij1lem10 9051

Description: Lemma for ackbij1 9060. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	|- F = ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem10	|- F : ( ~P om i^i Fin ) --> om

Distinct variable group:   x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. 2 |- F = ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) )
2		inss2 3834	. . . . 5 |- ( ~P om i^i Fin ) C_ Fin
3	2	sseli 3599	. . . 4 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> x e. Fin )
4		snfi 8038	. . . . . 6 |- { y } e. Fin
5		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P om i^i Fin ) C_ ~P om
6	5	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> x e. ~P om )
7	6	elpwid 4170	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> x C_ om )
8		onfin2 8152	. . . . . . . . . 10 |- om = ( On i^i Fin )
9		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( On i^i Fin ) C_ Fin
10	8, 9	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- om C_ Fin
11	7, 10	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> x C_ Fin )
12	11	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P om i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. Fin )
13		pwfi 8261	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin <-> ~P y e. Fin )
14	12, 13	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P om i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ~P y e. Fin )
15		xpfi 8231	. . . . . 6 |- ( ( { y } e. Fin /\ ~P y e. Fin ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
16	4, 14, 15	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P om i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
17	16	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> A. y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
18		iunfi 8254	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ A. y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin ) -> U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
19	3, 17, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin )
20		ficardom 8787	. . 3 |- ( U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) e. Fin -> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) e. om )
21	19, 20	syl 17	. 2 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) -> ( card ` U_ y e. x ( { y } X. ~P y ) ) e. om )
22	1, 21	fmpti 6383	1 |- F : ( ~P om i^i Fin ) --> om

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9053  ackbij1lem13  9054  ackbij1lem14  9055  ackbij1lem15  9056  ackbij1lem16  9057  ackbij1lem17  9058  ackbij1lem18  9059  ackbij1b  9061