Theorem acunirnmpt 29459

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
acunirnmpt.2	|- C = ran ( j e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt	|- ( ph -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C E. j e. A ( f ` y ) e. B ) )

Distinct variable groups:   A, j   f, j, y, C   ph, f, j, y

Allowed substitution hints:   A( y, f)   B( y, f, j)   V( y, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
2		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> ph )
3		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> j e. A )
4		acunirnmpt.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> B =/= (/) )
6	1, 5	eqnetrd 2861	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y =/= (/) )
7		acunirnmpt.2	. . . . . . . . 9 |- C = ran ( j e. A |-> B )
8	7	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( y e. C <-> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
9		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
11	10	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
13	8, 12	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( y e. C <-> E. j e. A y = B )
14	13	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( y e. C -> E. j e. A y = B )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> E. j e. A y = B )
16	6, 15	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> y =/= (/) )
17	16	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. C y =/= (/) )
18		acunirnmpt.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
19		mptexg 6484	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
20		rnexg 7098	. . . . . 6 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
22	7, 21	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> C e. _V )
23		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( A. y e. c y =/= (/) <-> A. y e. C y =/= (/) ) )
24		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( c = C -> c = C )
25		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( c = C -> U. c = U. C )
26	24, 25	feq23d 6040	. . . . . . . 8 |- ( c = C -> ( f : c --> U. c <-> f : C --> U. C ) )
27		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( c = C -> ( A. y e. c ( f ` y ) e. y <-> A. y e. C ( f ` y ) e. y ) )
28	26, 27	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( ( f : c --> U. c /\ A. y e. c ( f ` y ) e. y ) <-> ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) ) )
29	28	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> U. c /\ A. y e. c ( f ` y ) e. y ) <-> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) ) )
30	23, 29	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( c = C -> ( ( A. y e. c y =/= (/) -> E. f ( f : c --> U. c /\ A. y e. c ( f ` y ) e. y ) ) <-> ( A. y e. C y =/= (/) -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) ) ) )
31		vex 3203	. . . . . 6 |- c e. _V
32	31	ac5b 9300	. . . . 5 |- ( A. y e. c y =/= (/) -> E. f ( f : c --> U. c /\ A. y e. c ( f ` y ) e. y ) )
33	30, 32	vtoclg 3266	. . . 4 |- ( C e. _V -> ( A. y e. C y =/= (/) -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) ) )
34	22, 33	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. C y =/= (/) -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) ) )
35	17, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) )
36	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) -> E. j e. A y = B )
37		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> ( f ` y ) e. y )
38		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
39	37, 38	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> ( f ` y ) e. B )
40	39	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> ( f ` y ) e. B ) )
41	40	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A ( f ` y ) e. B ) )
42	36, 41	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( f ` y ) e. y ) -> E. j e. A ( f ` y ) e. B )
43	42	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( f ` y ) e. y -> E. j e. A ( f ` y ) e. B ) )
44	43	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. C ( f ` y ) e. y -> A. y e. C E. j e. A ( f ` y ) e. B ) )
45	44	anim2d 589	. . 3 |- ( ph -> ( ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) -> ( f : C --> U. C /\ A. y e. C E. j e. A ( f ` y ) e. B ) ) )
46	45	eximdv 1846	. 2 |- ( ph -> ( E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C ( f ` y ) e. y ) -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C E. j e. A ( f ` y ) e. B ) ) )
47	35, 46	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> U. C /\ A. y e. C E. j e. A ( f ` y ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-card 8765  df-ac 8939

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