Theorem acunirnmpt2 29460

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
acunirnmpt2.2	|- C = U. ran ( j e. A |-> B )
acunirnmpt2.3	|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt2	|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Distinct variable groups:   f, j, x, A   B, f   C, f, j, x   D, j   ph, f, j, x

Allowed substitution hints:   B( x, j)   D( x, f)   V( x, f, j)

Proof of Theorem acunirnmpt2

Dummy variables c y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
2		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5372	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B )
6	1, 5	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
7		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ x e. C )
8		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j y
9		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j ( j e. A |-> B )
10	9	nfrn 5368	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ran ( j e. A |-> B )
11	8, 10	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
12	7, 11	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
13		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j x e. y
14	12, 13	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
15		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
16		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
17	15, 16	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
18	17	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) )
19	18	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
20	14, 19	reximdai 3012	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
21	6, 20	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
22		acunirnmpt2.2	. . . . . . . 8 |- C = U. ran ( j e. A |-> B )
23	22	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
24	23	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( x e. C -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
25		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
26	24, 25	sylib 208	. . . . 5 |- ( x e. C -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
27	26	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
28	21, 27	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
29	28	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
30		acunirnmpt.0	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
31		mptexg 6484	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
32		rnexg 7098	. . . . 5 |- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
33		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
34	30, 31, 32, 33	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
35	22, 34	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
36		id 22	. . . . . 6 |- ( c = C -> c = C )
37	36	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) )
38	36	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) )
39	36	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) )
40	38, 39	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
41	40	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
42	37, 41	imbi12d 334	. . . 4 |- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) )
43		vex 3203	. . . . 5 |- c e. _V
44		acunirnmpt2.3	. . . . . 6 |- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
45	44	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
46	43, 45	ac6s 9306	. . . 4 |- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) )
47	42, 46	vtoclg 3266	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
48	35, 47	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) )
49	29, 48	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-en 7956  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939

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