Theorem axdclem2 9342

Description: Lemma for axdc 9343. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function g on ~P dom x. From this, we can build a sequence F starting at any value s e. dom x by repeatedly applying g to the set ( F ` x ) (where x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdclem2.1	|- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
axdclem2	|- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Distinct variable groups:   f, F, n   y, F, z, n   f, g, x, n   g, s, y, n   z, g   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 7530	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om
2		axdclem2.1	. . . . . . . . 9 |- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )
3	2	fneq1i 5985	. . . . . . . 8 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om )
4	1, 3	mpbir 221	. . . . . . 7 |- F Fn om
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F Fn om )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( F ` n ) = ( F ` (/) ) )
7		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> suc n = suc (/) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc (/) ) )
9	6, 8	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
11		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> suc n = suc k )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc k ) )
13	10, 12	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` k ) x ( F ` suc k ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( F ` n ) = ( F ` suc k ) )
15		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> suc n = suc suc k )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc suc k ) )
17	14, 16	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = suc k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
18	2	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- s e. _V
20		fr0g 7531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. _V -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s
22	18, 21	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` (/) ) = s
23	22	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` (/) ) x z <-> s x z )
24	23	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s x z -> ( F ` (/) ) x z )
25	24	eximi 1762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z s x z -> E. z ( F ` (/) ) x z )
26		peano1 7085	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. om
27	2	axdclem 9341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
29	25, 28	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z s x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
30	29	3com23 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
31		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` k ) e. _V
32		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` suc k ) e. _V
33	31, 32	brelrn 5356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. ran x )
34		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` suc k ) e. ran x -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
35	33, 34	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
36	32	eldm 5321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` suc k ) e. dom x <-> E. z ( F ` suc k ) x z )
37	35, 36	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
38	37	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
39		peano2 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. om -> suc k e. om )
40	2	axdclem 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( suc k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
41	39, 40	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
42	41	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
43	42	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
45	38, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
46	45	3adantr2 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
47	46	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
48	9, 13, 17, 30, 47	finds2 7094	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
49	48	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
50		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( F ` n ) e. _V
51		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( F ` suc n ) e. _V
52	50, 51	breldm 5329	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> ( F ` n ) e. dom x )
53	49, 52	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) e. dom x ) )
54	53	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) e. dom x )
55		ffnfv 6388	. . . . . 6 |- ( F : om --> dom x <-> ( F Fn om /\ A. n e. om ( F ` n ) e. dom x ) )
56	5, 54, 55	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F : om --> dom x )
57		omex 8540	. . . . . 6 |- om e. _V
58	57	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> om e. _V )
59		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
60	59	dmex 7099	. . . . . 6 |- dom x e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> dom x e. _V )
62		fex2 7121	. . . . 5 |- ( ( F : om --> dom x /\ om e. _V /\ dom x e. _V ) -> F e. _V )
63	56, 58, 61, 62	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F e. _V )
64	49	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) )
65		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
66		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` suc n ) = ( F ` suc n ) )
67	65, 66	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
68	67	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
69	68	spcegv 3294	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
70	63, 64, 69	sylc 65	. . 3 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )
71	70	3exp 1264	. 2 |- ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
72	60	pwex 4848	. . 3 |- ~P dom x e. _V
73	72	ac4c 9298	. 2 |- E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
74	71, 73	exlimiiv 1859	1 |- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  axdc  9343