Theorem axdc 9343

Description: This theorem derives ax-dc 9268 using ax-ac 9281 and ax-inf 8535. Thus, AC implies DC, but not vice-versa (so that ZFC is strictly stronger than ZF+DC). (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axdc	|- ( ( E. y E. z y x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )

Distinct variable group:   f, n, x, y, z

Proof of Theorem axdc

Dummy variables v g u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( u x w <-> u x z ) )
2	1	cbvabv 2747	. . . . . . . 8 |- { w | u x w } = { z | u x z }
3		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( u = v -> ( u x z <-> v x z ) )
4	3	abbidv 2741	. . . . . . . 8 |- ( u = v -> { z | u x z } = { z | v x z } )
5	2, 4	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( u = v -> { w | u x w } = { z | v x z } )
6	5	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( g ` { w | u x w } ) = ( g ` { z | v x z } ) )
7	6	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( u e. _V |-> ( g ` { w | u x w } ) ) = ( v e. _V |-> ( g ` { z | v x z } ) )
8		rdgeq1 7507	. . . . 5 |- ( ( u e. _V |-> ( g ` { w | u x w } ) ) = ( v e. _V |-> ( g ` { z | v x z } ) ) -> rec ( ( u e. _V |-> ( g ` { w | u x w } ) ) , y ) = rec ( ( v e. _V |-> ( g ` { z | v x z } ) ) , y ) )
9		reseq1 5390	. . . . 5 |- ( rec ( ( u e. _V |-> ( g ` { w | u x w } ) ) , y ) = rec ( ( v e. _V |-> ( g ` { z | v x z } ) ) , y ) -> ( rec ( ( u e. _V |-> ( g ` { w | u x w } ) ) , y ) |` om ) = ( rec ( ( v e. _V |-> ( g ` { z | v x z } ) ) , y ) |` om ) )
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . 4 |- ( rec ( ( u e. _V |-> ( g ` { w | u x w } ) ) , y ) |` om ) = ( rec ( ( v e. _V |-> ( g ` { z | v x z } ) ) , y ) |` om )
11	10	axdclem2 9342	. . 3 |- ( E. z y x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
12	11	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. y E. z y x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
13	12	imp 445	1 |- ( ( E. y E. z y x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-ac 8939

This theorem is referenced by: (None)