Theorem axpre-ltadd 9988

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 20 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axltadd 10111. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 10012. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 9952	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 9952	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 9952	. . 3 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4656	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + A ) )
6	5	breq1d 4663	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	bibi12d 335	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4657	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + B ) )
10	9	breq2d 4665	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) )
11	8, 10	bibi12d 335	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) ) )
12		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + A ) = ( C + A ) )
13		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + B ) = ( C + B ) )
14	12, 13	breq12d 4666	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
15	14	bibi2d 332	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) <-> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) ) )
16		ltasr 9921	. . . . . . 7 |- ( z e. R. -> ( x <R y <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( x <R y <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
18		ltresr 9961	. . . . . . 7 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y ) )
20		addresr 9959	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = <. ( z +R x ) , 0R >. )
21		addresr 9959	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( z +R y ) , 0R >. )
22	20, 21	breqan12d 4669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. R. /\ x e. R. ) /\ ( z e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
23	22	anandis 873	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
24		ltresr 9961	. . . . . . 7 |- ( <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) )
25	23, 24	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( z e. R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
26	17, 19, 25	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
27	26	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
28	27	3impa 1259	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
29	1, 2, 3, 7, 11, 15, 28	3gencl 3237	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
30	29	biimpd 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   R.cnr 9687   0Rc0r 9688   +R cplr 9691   <R cltr 9693   RRcr 9935   + caddc 9939   <RR cltrr 9940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-plr 9879  df-ltr 9881  df-0r 9882  df-c 9942  df-r 9946  df-add 9947  df-lt 9949

This theorem is referenced by: (None)