Theorem axrrecex 9984

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 10008. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	|- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> E. x e. RR ( A x. x ) = 1 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem axrrecex

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 9952	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = A )
2		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. y e. R. <. y , 0R >. = A <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 264	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. y ( y e. R. /\ <. y , 0R >. = A ) )
4		neeq1 2856	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. =/= 0 <-> A =/= 0 ) )
5		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( A x. x ) )
6	5	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( A x. x ) = 1 ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> E. x e. RR ( A x. x ) = 1 ) )
8	4, 7	imbi12d 334	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = A -> ( ( <. y , 0R >. =/= 0 -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) <-> ( A =/= 0 -> E. x e. RR ( A x. x ) = 1 ) ) )
9		df-0 9943	. . . . . . 7 |- 0 = <. 0R , 0R >.
10	9	eqeq2i 2634	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = 0 <-> <. y , 0R >. = <. 0R , 0R >. )
11		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
12	11	eqresr 9958	. . . . . 6 |- ( <. y , 0R >. = <. 0R , 0R >. <-> y = 0R )
13	10, 12	bitri 264	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = 0 <-> y = 0R )
14	13	necon3bii 2846	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. =/= 0 <-> y =/= 0R )
15		recexsr 9928	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ y =/= 0R ) -> E. z e. R. ( y .R z ) = 1R )
16	15	ex 450	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( y =/= 0R -> E. z e. R. ( y .R z ) = 1R ) )
17		opelreal 9951	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. e. RR <-> z e. R. )
18	17	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( z e. R. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
19		mulresr 9960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = <. ( y .R z ) , 0R >. )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 ) )
21		df-1 9944	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = <. 1R , 0R >.
22	21	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. )
23		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y .R z ) e. _V
24	23	eqresr 9958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = <. 1R , 0R >. <-> ( y .R z ) = 1R )
25	22, 24	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. ( y .R z ) , 0R >. = 1 <-> ( y .R z ) = 1R )
26	20, 25	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 <-> ( y .R z ) = 1R ) )
27	26	pm5.32da 673	. . . . . . . . 9 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( z e. R. /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
28	18, 27	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( y e. R. -> ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) <-> ( z e. R. /\ ( y .R z ) = 1R ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( <. y , 0R >. x. x ) = ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. z , 0R >. -> ( ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 <-> ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , 0R >. e. RR /\ ( <. y , 0R >. x. <. z , 0R >. ) = 1 ) -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 )
32	28, 31	syl6bir 244	. . . . . . 7 |- ( y e. R. -> ( ( z e. R. /\ ( y .R z ) = 1R ) -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
33	32	expd 452	. . . . . 6 |- ( y e. R. -> ( z e. R. -> ( ( y .R z ) = 1R -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) ) )
34	33	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( y e. R. -> ( E. z e. R. ( y .R z ) = 1R -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
35	16, 34	syld 47	. . . 4 |- ( y e. R. -> ( y =/= 0R -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
36	14, 35	syl5bi 232	. . 3 |- ( y e. R. -> ( <. y , 0R >. =/= 0 -> E. x e. RR ( <. y , 0R >. x. x ) = 1 ) )
37	3, 8, 36	gencl 3235	. 2 |- ( A e. RR -> ( A =/= 0 -> E. x e. RR ( A x. x ) = 1 ) )
38	37	imp 445	1 |- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> E. x e. RR ( A x. x ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   <.cop 4183  (class class class)co 6650   R.cnr 9687   0Rc0r 9688   1Rc1r 9689   .R cmr 9692   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-mp 9806  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-plr 9879  df-mr 9880  df-ltr 9881  df-0r 9882  df-1r 9883  df-m1r 9884  df-c 9942  df-0 9943  df-1 9944  df-r 9946  df-mul 9948

This theorem is referenced by: (None)