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Theorem axsegconlem1 25797
Description: Lemma for axsegcon 25807. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 |- ( ( A = B /\ ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:   t, N, i, x   t, A, i, x   t, B, i, x   t, C, i, x   t, D, i, x
Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 25781 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
213ad2antl1 1223 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
3 fveere 25781 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` k ) e. RR )
433ad2antl2 1224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` k ) e. RR )
5 fveere 25781 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( D ` k ) e. RR )
653ad2antl3 1225 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( D ` k ) e. RR )
74, 6resubcld 10458 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) e. RR )
82, 7resubcld 10458 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) e. RR )
98ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) e. RR )
10 eleenn 25776 . . . . . . . . 9 |- ( B e. ( EE ` N ) -> N e. NN )
11 mptelee 25775 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) e. RR ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( EE ` N ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) e. RR ) )
13123ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) e. RR ) )
149, 13mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) e. ( EE ` N ) )
15 fveecn 25782 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
16153ad2antl1 1223 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
17 fveecn 25782 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` i ) e. CC )
18173ad2antl2 1224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` i ) e. CC )
19 fveecn 25782 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( D ` i ) e. CC )
20193ad2antl3 1225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( D ` i ) e. CC )
21 1m0e1 11131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 - 0 ) = 1
2221oveq1i 6660 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) = ( 1 x. ( B ` i ) )
23 mulid2 10038 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ` i ) e. CC -> ( 1 x. ( B ` i ) ) = ( B ` i ) )
24233ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( 1 x. ( B ` i ) ) = ( B ` i ) )
2522, 24syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) = ( B ` i ) )
26 subcl 10280 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) e. CC )
27 subcl 10280 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) e. CC ) -> ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) e. CC )
2826, 27sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) ) -> ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) e. CC )
29283impb 1260 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) e. CC )
3029mul02d 10234 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) = 0 )
3125, 30oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) = ( ( B ` i ) + 0 ) )
32 addid1 10216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B ` i ) e. CC -> ( ( B ` i ) + 0 ) = ( B ` i ) )
33323ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( ( B ` i ) + 0 ) = ( B ` i ) )
3431, 33eqtr2d 2657 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B ` i ) e. CC /\ ( C ` i ) e. CC /\ ( D ` i ) e. CC ) -> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) )
3516, 18, 20, 34syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) )
3635ralrimiva 2966 . . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) )
3718, 20subcld 10392 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) e. CC )
3816, 37nncand 10397 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) = ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) )
3938oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )
4039sumeq2dv 14433 . . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )
41 0elunit 12290 . . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
42 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) -> ( x ` i ) = ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) ` i ) )
43 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = i -> ( B ` k ) = ( B ` i ) )
44 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( C ` k ) = ( C ` i ) )
45 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( D ` k ) = ( D ` i ) )
4644, 45oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = i -> ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) = ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) )
4743, 46oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = i -> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) = ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) )
48 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) )
49 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) e. _V
5047, 48, 49fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) ` i ) = ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) )
5142, 50sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` i ) = ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) )
5251oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( t x. ( x ` i ) ) = ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) )
5352oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) )
5453eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) <-> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) ) )
5554ralbidva 2985 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) ) )
5651oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) = ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) )
5756oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5857sumeq2dv 14433 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5958eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) <-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
6055, 59anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
61 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
6261oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = 0 -> ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) = ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) )
63 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = 0 -> ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) = ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) )
6462, 63oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) )
6564eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( t = 0 -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) <-> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) ) )
6665ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) ) )
6766anbi1d 741 . . . . . . . 8 |- ( t = 0 -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
6860, 67rspc2ev 3324 . . . . . . 7 |- ( ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) e. ( EE ` N ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
6941, 68mp3an2 1412 . . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( B ` k ) - ( ( C ` k ) - ( D ` k ) ) ) ) e. ( EE ` N ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - 0 ) x. ( B ` i ) ) + ( 0 x. ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( ( B ` i ) - ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
7014, 36, 40, 69syl12anc 1324 . . . . 5 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
71703expb 1266 . . . 4 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
7271adantll 750 . . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
73 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( A ` i ) = ( B ` i ) )
7473oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) )
7574oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( A = B -> ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) )
7675eqeq2d 2632 . . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) <-> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) ) )
7776ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( A = B -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) ) )
7877anbi1d 741 . . . 4 |- ( A = B -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
79782rexbidv 3057 . . 3 |- ( A = B -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( B ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
8072, 79syl5ibr 236 . 2 |- ( A = B -> ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
8180imp 445 1 |- ( ( A = B /\ ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. t e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( A ` i ) ) + ( t x. ( x ` i ) ) ) /\ sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( x ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   EEcee 25768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-ee 25771
This theorem is referenced by:  axsegcon  25807
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