Theorem prdsbnd2 33594

Description: If balls are totally bounded in each factor, then balls are bounded in a metric product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbnd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbnd.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbnd.v	|- V = ( Base ` ( R ` x ) )
prdsbnd.e	|- E = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) )
prdsbnd.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsbnd.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsbnd.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsbnd.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsbnd2.c	|- C = ( D |` ( A X. A ) )
prdsbnd2.e	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )
prdsbnd2.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( E |` ( y X. y ) ) e. ( TotBnd ` y ) <-> ( E |` ( y X. y ) ) e. ( Bnd ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsbnd2	|- ( ph -> ( C e. ( TotBnd ` A ) <-> C e. ( Bnd ` A ) ) )

Distinct variable groups:   y, D   x, y, R   x, B, y   y, E   ph, x, y   x, I, y   x, S   y, V   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   C( x, y)   D( x)   S( y)   E( x)   V( x)   W( x, y)   Y( y)

Proof of Theorem prdsbnd2

Dummy variables r a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 33588	. 2 |- ( C e. ( TotBnd ` A ) -> C e. ( Bnd ` A ) )
2		bndmet 33580	. . . . 5 |- ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( Met ` A ) )
3		0totbnd 33572	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( C e. ( TotBnd ` A ) <-> C e. ( Met ` A ) ) )
4	2, 3	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( TotBnd ` A ) ) )
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A = (/) -> ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( TotBnd ` A ) ) ) )
6		n0 3931	. . . 4 |- ( A =/= (/) <-> E. a a e. A )
7		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> C e. ( Bnd ` A ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
10		prdsbnd.v	. . . . . . . . . . . 12 |- V = ( Base ` ( R ` x ) )
11		prdsbnd.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
13		prdsbnd.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. W )
14		prdsbnd.i	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. Fin )
15		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( R ` x ) e. _V )
16		prdsbnd2.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )
17	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	prdsmet 22175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) e. ( Met ` ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) ) )
18		prdsbnd.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dist ` Y )
19		prdsbnd.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Y = ( S X_s R )
20		prdsbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> R Fn I )
21		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Fn I <-> R = ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
22	20, 21	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R = ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S X_s R ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
24	19, 23	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( dist ` Y ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
26	18, 25	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
27		prdsbnd.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` Y )
28	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
29	27, 28	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Met ` B ) = ( Met ` ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) ) )
31	17, 26, 30	3eltr4d 2716	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. ( Met ` B ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> D e. ( Met ` B ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) -> C e. ( Bnd ` A ) )
34		prdsbnd2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( D |` ( A X. A ) )
35	34	bnd2lem 33590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( Met ` B ) /\ C e. ( Bnd ` A ) ) -> A C_ B )
36	31, 33, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> A C_ B )
37		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> a e. A )
38	36, 37	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> a e. B )
39	34	ssbnd 33587	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( Met ` B ) /\ a e. B ) -> ( C e. ( Bnd ` A ) <-> E. r e. RR A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) )
40	32, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> ( C e. ( Bnd ` A ) <-> E. r e. RR A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) )
41	7, 40	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> E. r e. RR A C_ ( a ( ball ` D ) r ) )
42		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> A C_ ( a ( ball ` D ) r ) )
43		xpss12 5225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ ( a ( ball ` D ) r ) /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) -> ( A X. A ) C_ ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) )
44	42, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( A X. A ) C_ ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) )
45	44	resabs1d 5428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) |` ( A X. A ) ) = ( D |` ( A X. A ) ) )
46	45, 34	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) |` ( A X. A ) ) = C )
47		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ph )
48	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> a e. B )
49		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> r e. RR )
50	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> a e. A )
51	42, 50	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> a e. ( a ( ball ` D ) r ) )
52		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( a ( ball ` D ) r ) -> ( a ( ball ` D ) r ) =/= (/) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( a ( ball ` D ) r ) =/= (/) )
54	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> D e. ( Met ` B ) )
55		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( Met ` B ) -> D e. ( *Met ` B ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> D e. ( *Met ` B ) )
57	49	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> r e. RR* )
58		xbln0 22219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ a e. B /\ r e. RR* ) -> ( ( a ( ball ` D ) r ) =/= (/) <-> 0 < r ) )
59	56, 48, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( ( a ( ball ` D ) r ) =/= (/) <-> 0 < r ) )
60	53, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> 0 < r )
61	49, 60	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> r e. RR+ )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) = ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) = ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) |` ( ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) X. ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) ) = ( ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) |` ( ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) X. ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
67	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> S e. W )
68	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> I e. Fin )
69		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) e. _V
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( R ` y ) = ( R ` x ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( dist ` ( R ` y ) ) = ( dist ` ( R ` x ) ) )
72	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` x ) ) )
73	72, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( Base ` ( R ` y ) ) = V )
74	73	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) = ( V X. V ) )
75	71, 74	reseq12d 5397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) ) )
76	75, 11	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) = E )
77	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) = ( ball ` E ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( a ` y ) = ( a ` x ) )
79		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> r = r )
80	77, 78, 79	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) )
81	70, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) = ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
82	81	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
83	69, 82	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) Fn I
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) Fn I )
85	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )
86		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E e. ( Met ` V ) -> E e. ( *Met ` V ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
88	15	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. I ( R ` x ) e. _V )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> A. x e. I ( R ` x ) e. _V )
90		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> a e. B )
91	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> B = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
92	90, 91	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> a e. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
93	8, 9, 67, 68, 89, 10, 92	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> A. x e. I ( a ` x ) e. V )
94	93	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( a ` x ) e. V )
95		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> r e. RR+ )
96	95	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> r e. RR )
97		blbnd 33586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( a ` x ) e. V /\ r e. RR ) -> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
98	87, 94, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
99		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) e. _V
100		xpeq12 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) /\ y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) -> ( y X. y ) = ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
101	100	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( y X. y ) = ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
102	101	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( E |` ( y X. y ) ) = ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( TotBnd ` y ) = ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
104	102, 103	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( ( E |` ( y X. y ) ) e. ( TotBnd ` y ) <-> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( Bnd ` y ) = ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
106	102, 105	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( ( E |` ( y X. y ) ) e. ( Bnd ` y ) <-> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
107	104, 106	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( ( ( E |` ( y X. y ) ) e. ( TotBnd ` y ) <-> ( E |` ( y X. y ) ) e. ( Bnd ` y ) ) <-> ( ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) <-> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) )
108	107	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) -> ( ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( E |` ( y X. y ) ) e. ( TotBnd ` y ) <-> ( E |` ( y X. y ) ) e. ( Bnd ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) <-> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) )
109		prdsbnd2.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( E |` ( y X. y ) ) e. ( TotBnd ` y ) <-> ( E |` ( y X. y ) ) e. ( Bnd ` y ) ) )
110	99, 108, 109	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) <-> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
111	110	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) <-> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( Bnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
112	98, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
113		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) )
114	81, 113, 69	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. I -> ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) = ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) = ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) = ( dist ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) = ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) )
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` ( R ` x ) ) = ( dist ` ( R ` x ) )
119	117, 118	ressds 16073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) e. _V -> ( dist ` ( R ` x ) ) = ( dist ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
120	99, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dist ` ( R ` x ) ) = ( dist ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
121	116, 120	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) = ( dist ` ( R ` x ) ) )
122	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) = ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
123		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
124	123	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> r e. RR* )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> r e. RR* )
126		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( a ` x ) e. V /\ r e. RR* ) -> ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) C_ V )
127	87, 94, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) C_ V )
128	117, 10	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) C_ V -> ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) = ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) = ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
130	122, 129	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) = ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) )
131	130	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) X. ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) = ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
132	121, 131	reseq12d 5397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) |` ( ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) X. ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) ) = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
133	11	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) = ( ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) ) |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
134		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) C_ V /\ ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) C_ V ) -> ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) C_ ( V X. V ) )
135	127, 127, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) C_ ( V X. V ) )
136	135	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) ) |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
137	133, 136	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
138	132, 137	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) |` ( ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) X. ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) ) = ( E |` ( ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) X. ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
139	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( TotBnd ` ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) = ( TotBnd ` ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
140	112, 138, 139	3eltr4d 2716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( dist ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) |` ( ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) X. ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) ) e. ( TotBnd ` ( Base ` ( ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ` x ) ) ) )
141	62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 84, 140	prdstotbnd 33593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) e. ( TotBnd ` ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) )
142	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> Y = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
143		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) )
144		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) )
145	82	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
146	145	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) )
147		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( R ` x ) e. _V )
148	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) e. _V )
149	142, 143, 144, 18, 146, 67, 67, 68, 147, 148	ressprdsds 22176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( D |` ( ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) X. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) ) ) )
150	129	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> X_ x e. I ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
151	70	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. I |-> ( R ` y ) ) = ( x e. I |-> ( R ` x ) )
152	151	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
153	24, 152	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> Y = ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( dist ` Y ) = ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) )
155	18, 154	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D = ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ball ` D ) = ( ball ` ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) ) )
157	156	oveqdr 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( a ( ball ` D ) r ) = ( a ( ball ` ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) ) r ) )
158		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) )
159		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) )
160	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) )
161	27, 160	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B = ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) )
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> B = ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) )
163	90, 162	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> a e. ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) )
164		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
165	164	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> 0 < r )
166	152, 158, 10, 11, 159, 67, 68, 147, 87, 163, 124, 165	prdsbl 22296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( a ( ball ` ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( R ` y ) ) ) ) ) r ) = X_ x e. I ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) )
167	157, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( a ( ball ` D ) r ) = X_ x e. I ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) )
168		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
169	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) /\ x e. I ) -> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) e. _V )
170	169	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> A. x e. I ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) e. _V )
171		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) = ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) )
172	168, 144, 67, 68, 170, 171	prdsbas3 16141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
173	150, 167, 172	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) = ( a ( ball ` D ) r ) )
174	173	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) X. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) ) = ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) )
175	174	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( D |` ( ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) X. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) ) ) ) = ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) )
176	149, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( dist ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) )
177	145	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( ( R ` x ) ↾s ( ( a ` x ) ( ball ` E ) r ) ) ) ) )
178	177, 173	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) = ( a ( ball ` D ) r ) )
179	178	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( TotBnd ` ( Base ` ( S X_s ( y e. I |-> ( ( R ` y ) ↾s ( ( a ` y ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` y ) ) |` ( ( Base ` ( R ` y ) ) X. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) = ( TotBnd ` ( a ( ball ` D ) r ) ) )
180	141, 176, 179	3eltr3d 2715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ r e. RR+ ) ) -> ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( a ( ball ` D ) r ) ) )
181	47, 48, 61, 180	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( a ( ball ` D ) r ) ) )
182		totbndss 33576	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) e. ( TotBnd ` ( a ( ball ` D ) r ) ) /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) |` ( A X. A ) ) e. ( TotBnd ` A ) )
183	181, 42, 182	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> ( ( D |` ( ( a ( ball ` D ) r ) X. ( a ( ball ` D ) r ) ) ) |` ( A X. A ) ) e. ( TotBnd ` A ) )
184	46, 183	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A C_ ( a ( ball ` D ) r ) ) ) -> C e. ( TotBnd ` A ) )
185	41, 184	rexlimddv 3035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ C e. ( Bnd ` A ) ) ) -> C e. ( TotBnd ` A ) )
186	185	exp32 631	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. A -> ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( TotBnd ` A ) ) ) )
187	186	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. a a e. A -> ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( TotBnd ` A ) ) ) )
188	6, 187	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( A =/= (/) -> ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( TotBnd ` A ) ) ) )
189	5, 188	pm2.61dne 2880	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( Bnd ` A ) -> C e. ( TotBnd ` A ) ) )
190	1, 189	impbid2 216	1 |- ( ph -> ( C e. ( TotBnd ` A ) <-> C e. ( Bnd ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   RR+crp 11832   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   X__scprds 16106   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   TotBndctotbnd 33565   Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-totbnd 33567  df-bnd 33578

This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  33596