Theorem cats1fvn 13603

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1cli.2	|- S e. Word _V
cats1fvn.3	|- ( # ` S ) = M

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	|- ( X e. V -> ( T ` M ) = X )

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 |- T = ( S ++ <" X "> )
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 |- ( # ` S ) = M
3	2	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 0 + ( # ` S ) ) = ( 0 + M )
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 |- S e. Word _V
5		lencl 13324	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Word _V -> ( # ` S ) e. NN0 )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` S ) e. NN0
7	2, 6	eqeltrri 2698	. . . . . . 7 |- M e. NN0
8	7	nn0cni 11304	. . . . . 6 |- M e. CC
9	8	addid2i 10224	. . . . 5 |- ( 0 + M ) = M
10	3, 9	eqtr2i 2645	. . . 4 |- M = ( 0 + ( # ` S ) )
11	1, 10	fveq12i 6196	. . 3 |- ( T ` M ) = ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + ( # ` S ) ) )
12		s1cli 13384	. . . 4 |- <" X "> e. Word _V
13		s1len 13385	. . . . . 6 |- ( # ` <" X "> ) = 1
14		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	13, 14	eqeltri 2697	. . . . 5 |- ( # ` <" X "> ) e. NN
16		lbfzo0 12507	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ ( # ` <" X "> ) ) <-> ( # ` <" X "> ) e. NN )
17	15, 16	mpbir 221	. . . 4 |- 0 e. ( 0..^ ( # ` <" X "> ) )
18		ccatval3 13363	. . . 4 |- ( ( S e. Word _V /\ <" X "> e. Word _V /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` <" X "> ) ) ) -> ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + ( # ` S ) ) ) = ( <" X "> ` 0 ) )
19	4, 12, 17, 18	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( S ++ <" X "> ) ` ( 0 + ( # ` S ) ) ) = ( <" X "> ` 0 )
20	11, 19	eqtri 2644	. 2 |- ( T ` M ) = ( <" X "> ` 0 )
21		s1fv 13390	. 2 |- ( X e. V -> ( <" X "> ` 0 ) = X )
22	20, 21	syl5eq 2668	1 |- ( X e. V -> ( T ` M ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302

This theorem is referenced by:  s2fv1  13633  s3fv2  13638  s4fv3  13643