MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatval3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ccatval3 13363
Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word, using an index relative to the subword. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatval3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( I + ( # ` S ) ) ) = ( T ` I ) )
Proof of Theorem ccatval3
StepHypRef Expression
1 lencl 13324 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word B -> ( # ` S ) e. NN0 )
21nn0zd 11480 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> ( # ` S ) e. ZZ )
32anim1i 592 . . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( # ` S ) e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) )
43ancomd 467 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) /\ ( # ` S ) e. ZZ ) )
543adant2 1080 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) /\ ( # ` S ) e. ZZ ) )
6 fzo0addelr 12522 . . . 4 |- ( ( I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) /\ ( # ` S ) e. ZZ ) -> ( I + ( # ` S ) ) e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
75, 6syl 17 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( I + ( # ` S ) ) e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) )
8 ccatval2 13362 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ ( I + ( # ` S ) ) e. ( ( # ` S )..^ ( ( # ` S ) + ( # ` T ) ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( I + ( # ` S ) ) ) = ( T ` ( ( I + ( # ` S ) ) - ( # ` S ) ) ) )
97, 8syld3an3 1371 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( I + ( # ` S ) ) ) = ( T ` ( ( I + ( # ` S ) ) - ( # ` S ) ) ) )
10 elfzoelz 12470 . . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) -> I e. ZZ )
11103ad2ant3 1084 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> I e. ZZ )
1211zcnd 11483 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> I e. CC )
1313ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` S ) e. NN0 )
1413nn0cnd 11353 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( # ` S ) e. CC )
1512, 14pncand 10393 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( I + ( # ` S ) ) - ( # ` S ) ) = I )
1615fveq2d 6195 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( T ` ( ( I + ( # ` S ) ) - ( # ` S ) ) ) = ( T ` I ) )
179, 16eqtrd 2656 1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ ( # ` T ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` ( I + ( # ` S ) ) ) = ( T ` I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301
This theorem is referenced by:  ccatrn  13372  swrdccat2  13458  cats1un  13475  splfv2a  13507  revccat  13515  cats1fvn  13603  gsumccat  17378  efgsval2  18146  efgsp1  18150  pgpfaclem1  18480  signstfvn  30646
  Copyright terms: Public domain W3C validator