Theorem cfeq0 9078

Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfeq0	|- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0

Dummy variables v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 9069	. . . 4 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
2	1	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) ) )
3		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
4		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( x = ( card ` y ) <-> v = ( card ` y ) ) )
5	4	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
6	5	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
7	3, 6	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` ( card ` y ) ) )
9		cardidm 8785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( card ` ( card ` y ) ) = ( card ` y )
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = ( card ` y ) )
11		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( card ` y ) -> ( ( card ` v ) = v <-> ( card ` v ) = ( card ` y ) ) )
12	10, 11	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( card ` y ) -> ( card ` v ) = v )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
14	13	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( v = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( card ` v ) = v )
15	7, 14	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> ( card ` v ) = v )
16		cardon 8770	. . . . . . 7 |- ( card ` v ) e. On
17	15, 16	syl6eqelr 2710	. . . . . 6 |- ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> v e. On )
18	17	ssriv 3607	. . . . 5 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On
19		onint0 6996	. . . . 5 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 |- ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } )
21		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x = ( card ` y ) <-> (/) = ( card ` y ) ) )
23	22	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
24	23	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
25	21, 24	elab 3350	. . . . 5 |- ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) )
26		onss 6990	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
27		sstr 3611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ A C_ On ) -> y C_ On )
28	27	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
29	26, 28	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
30	29	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ y C_ A ) -> y C_ On )
31	30	3adant3r 1323	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On )
32		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> (/) = ( card ` y ) )
33		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) )
34		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) = ( card ` y ) <-> ( card ` y ) = (/) )
35		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
36		onssnum 8863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
37	35, 36	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
38		cardnueq0 8790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. dom card -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ On -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
40	34, 39	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ On -> ( (/) = ( card ` y ) <-> y = (/) ) )
41	40	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> y = (/) )
42		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( y C_ A <-> (/) C_ A ) )
43		rexeq 3139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. (/) z C_ w ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( A. z e. A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
45	42, 44	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) <-> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) ) )
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = (/) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
47	41, 46	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) )
48		rex0 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E. w e. (/) z C_ w
49	48	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w
50		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w ) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
51	49, 50	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w )
52		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. A -. E. w e. (/) z C_ w <-> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
53	51, 52	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> -. A. z e. A E. w e. (/) z C_ w )
54	53	necon4ai 2825	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A E. w e. (/) z C_ w -> A = (/) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) C_ A /\ A. z e. A E. w e. (/) z C_ w ) -> A = (/) )
56	47, 55	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
57	31, 32, 33, 56	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) )
58	57	3expib 1268	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
59	58	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) -> A = (/) ) )
60	25, 59	syl5bi 232	. . . 4 |- ( A e. On -> ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } -> A = (/) ) )
61	20, 60	syl5bi 232	. . 3 |- ( A e. On -> ( |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. w e. y z C_ w ) ) } = (/) -> A = (/) ) )
62	2, 61	sylbid 230	. 2 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) -> A = (/) ) )
63		fveq2 6191	. . 3 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = ( cf ` (/) ) )
64		cf0 9073	. . 3 |- ( cf ` (/) ) = (/)
65	63, 64	syl6eq 2672	. 2 |- ( A = (/) -> ( cf ` A ) = (/) )
66	62, 65	impbid1 215	1 |- ( A e. On -> ( ( cf ` A ) = (/) <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   dom cdm 5114   Oncon0 5723   ` cfv 5888   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-cf 8767

This theorem is referenced by: (None)