Theorem cfsuc 9079

Description: Value of the cofinality function at a successor ordinal. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfsuc	|- ( A e. On -> ( cf ` suc A ) = 1o )

Proof of Theorem cfsuc

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucelon 7017	. . 3 |- ( A e. On <-> suc A e. On )
2		cfval 9069	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( cf ` suc A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
3	1, 2	sylbi 207	. 2 |- ( A e. On -> ( cf ` suc A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
4		cardsn 8795	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( card ` { A } ) = 1o )
5	4	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( A e. On -> 1o = ( card ` { A } ) )
6		snidg 4206	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> A e. { A } )
7		elsuci 5791	. . . . . . . . 9 |- ( z e. suc A -> ( z e. A \/ z = A ) )
8		onelss 5766	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( z e. A -> z C_ A ) )
9		eqimss 3657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = A -> z C_ A )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( z = A -> z C_ A ) )
11	8, 10	jaod 395	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( ( z e. A \/ z = A ) -> z C_ A ) )
12	7, 11	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( z e. suc A -> z C_ A ) )
13		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( w = A -> ( z C_ w <-> z C_ A ) )
14	13	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. { A } /\ z C_ A ) -> E. w e. { A } z C_ w )
15	6, 12, 14	syl6an 568	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( z e. suc A -> E. w e. { A } z C_ w ) )
16	15	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( A e. On -> A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w )
17		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- { A } C_ ( A u. { A } )
18		df-suc 5729	. . . . . . 7 |- suc A = ( A u. { A } )
19	17, 18	sseqtr4i 3638	. . . . . 6 |- { A } C_ suc A
20	16, 19	jctil 560	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) )
21		snex 4908	. . . . . 6 |- { A } e. _V
22		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = { A } -> ( card ` y ) = ( card ` { A } ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = { A } -> ( 1o = ( card ` y ) <-> 1o = ( card ` { A } ) ) )
24		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( y = { A } -> ( y C_ suc A <-> { A } C_ suc A ) )
25		rexeq 3139	. . . . . . . . 9 |- ( y = { A } -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. { A } z C_ w ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = { A } -> ( A. z e. suc A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) )
27	24, 26	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = { A } -> ( ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) <-> ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) )
28	23, 27	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( y = { A } -> ( ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( 1o = ( card ` { A } ) /\ ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) ) )
29	21, 28	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( 1o = ( card ` { A } ) /\ ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) -> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
30	5, 20, 29	syl2anc 693	. . . 4 |- ( A e. On -> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
31		1on 7567	. . . . . 6 |- 1o e. On
32	31	elexi 3213	. . . . 5 |- 1o e. _V
33		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( x = 1o -> ( x = ( card ` y ) <-> 1o = ( card ` y ) ) )
34	33	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( x = 1o -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
35	34	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( x = 1o -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
36	32, 35	elab 3350	. . . 4 |- ( 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
37	30, 36	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. On -> 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
38		el1o 7579	. . . . 5 |- ( v e. 1o <-> v = (/) )
39		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) = ( card ` y ) <-> ( card ` y ) = (/) )
40		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
41		onssnum 8863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
42	40, 41	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
43		cardnueq0 8790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. dom card -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ On -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) )
45	39, 44	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ On -> ( (/) = ( card ` y ) <-> y = (/) ) )
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> y = (/) )
47		rex0 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. E. w e. (/) z C_ w
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. suc A -> -. E. w e. (/) z C_ w )
49	48	nrex 3000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w
50		nsuceq0 5805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc A =/= (/)
51		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( suc A =/= (/) /\ A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w ) -> E. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w )
52	50, 51	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w -> E. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w )
53	49, 52	mto 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w
54		rexeq 3139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = (/) -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. (/) z C_ w ) )
55	54	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> ( A. z e. suc A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w ) )
56	53, 55	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> -. A. z e. suc A E. w e. y z C_ w )
57	46, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> -. A. z e. suc A E. w e. y z C_ w )
58	57	intnand 962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> -. ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) )
59		imnan 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> -. ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> -. ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
60	58, 59	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- -. ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) )
61		suceloni 7013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. On -> suc A e. On )
62		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc A e. On -> suc A C_ On )
63		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ suc A /\ suc A C_ On ) -> y C_ On )
64	62, 63	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y C_ suc A /\ suc A e. On ) -> y C_ On )
65	61, 64	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ suc A /\ A e. On ) -> y C_ On )
66	65	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ y C_ suc A ) -> y C_ On )
67	66	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On )
68	67	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On )
69		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> (/) = ( card ` y ) )
70		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) )
71	68, 69, 70	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
72	71	3expib 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
73	60, 72	mtoi 190	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> -. ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
74	73	nexdv 1864	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
75		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
76		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( x = ( card ` y ) <-> (/) = ( card ` y ) ) )
77	76	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
78	77	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) )
79	75, 78	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) )
80	74, 79	sylnibr 319	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> -. (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
81	80	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ v = (/) ) -> -. (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
82		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( v = (/) -> ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
83	82	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ v = (/) ) -> ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
84	81, 83	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ v = (/) ) -> -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
85	38, 84	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ v e. 1o ) -> -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
86	85	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( A e. On -> A. v e. 1o -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
87		cardon 8770	. . . . . . . 8 |- ( card ` y ) e. On
88		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = ( card ` y ) -> ( x e. On <-> ( card ` y ) e. On ) )
89	87, 88	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( x = ( card ` y ) -> x e. On )
90	89	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> x e. On )
91	90	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> x e. On )
92	91	abssi 3677	. . . 4 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On
93		oneqmini 5776	. . . 4 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On -> ( ( 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } /\ A. v e. 1o -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) -> 1o = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } /\ A. v e. 1o -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) -> 1o = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
95	37, 86, 94	syl2anc 693	. 2 |- ( A e. On -> 1o = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } )
96	3, 95	eqtr4d 2659	1 |- ( A e. On -> ( cf ` suc A ) = 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |^|cint 4475   dom cdm 5114   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   1oc1o 7553   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cf 8767

This theorem is referenced by:  cflim2  9085  cfpwsdom  9406  rankcf  9599