Theorem cfil3i 23067

Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfil3i	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. F )

Distinct variable groups:   x, F   x, X   x, R   x, D

Proof of Theorem cfil3i

Dummy variables s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 23066	. . 3 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. s e. F A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R )
2	1	3adant1 1079	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. s e. F A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R )
3		cfilfil 23065	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
4	3	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5		fileln0 21654	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ s e. F ) -> s =/= (/) )
6	4, 5	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> s =/= (/) )
7		r19.2z 4060	. . . . . 6 |- ( ( s =/= (/) /\ A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R ) -> E. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R )
8	7	ex 450	. . . . 5 |- ( s =/= (/) -> ( A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R ) )
9	6, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> ( A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R ) )
10		filelss 21656	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ s e. F ) -> s C_ X )
11	4, 10	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> s C_ X )
12		ssrexv 3667	. . . . 5 |- ( s C_ X -> ( E. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. X A. y e. s ( x D y ) < R ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> ( E. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. X A. y e. s ( x D y ) < R ) )
14		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( s C_ ( x ( ball ` D ) R ) <-> A. y e. s y e. ( x ( ball ` D ) R ) )
15		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> D e. ( *Met ` X ) )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) /\ y e. s ) -> D e. ( *Met ` X ) )
17		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> R e. RR+ )
18	17	rpxrd 11873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> R e. RR* )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) /\ y e. s ) -> R e. RR* )
20		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) /\ y e. s ) -> x e. X )
21	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> s C_ X )
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) /\ y e. s ) -> y e. X )
23		elbl2 22195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y e. ( x ( ball ` D ) R ) <-> ( x D y ) < R ) )
24	16, 19, 20, 22, 23	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) /\ y e. s ) -> ( y e. ( x ( ball ` D ) R ) <-> ( x D y ) < R ) )
25	24	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. s y e. ( x ( ball ` D ) R ) <-> A. y e. s ( x D y ) < R ) )
26	14, 25	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> ( s C_ ( x ( ball ` D ) R ) <-> A. y e. s ( x D y ) < R ) )
27	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
28		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> s e. F )
29	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
30		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> x e. X )
31		blssm 22223	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ R e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
32	29, 30, 18, 31	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) R ) C_ X )
33		filss 21657	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( s e. F /\ ( x ( ball ` D ) R ) C_ X /\ s C_ ( x ( ball ` D ) R ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. F )
34	33	3exp2 1285	. . . . . . 7 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( s e. F -> ( ( x ( ball ` D ) R ) C_ X -> ( s C_ ( x ( ball ` D ) R ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. F ) ) ) )
35	27, 28, 32, 34	syl3c 66	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> ( s C_ ( x ( ball ` D ) R ) -> ( x ( ball ` D ) R ) e. F ) )
36	26, 35	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. s ( x D y ) < R -> ( x ( ball ` D ) R ) e. F ) )
37	36	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> ( E. x e. X A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. F ) )
38	9, 13, 37	3syld 60	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) /\ s e. F ) -> ( A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. F ) )
39	38	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> ( E. s e. F A. x e. s A. y e. s ( x D y ) < R -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. F ) )
40	2, 39	mpd 15	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. X ( x ( ball ` D ) R ) e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   Filcfil 21649  CauFilccfil 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-fbas 19743  df-fil 21650  df-cfil 23053

This theorem is referenced by:  iscfil3  23071  cfilfcls  23072  relcmpcmet  23115