Theorem cfili 23066

Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfili	|- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < R )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, R, y, z   x, D, y, z

Proof of Theorem cfili

Dummy variables f r d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cfil 23053	. . . . . . . 8 |- CauFil = ( d e. U. ran *Met |-> { f e. ( Fil ` dom dom d ) | A. x e. RR+ E. y e. f ( d " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) } )
2	1	dmmptss 5631	. . . . . . 7 |- dom CauFil C_ U. ran *Met
3		elfvdm 6220	. . . . . . 7 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. dom CauFil )
4	2, 3	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. U. ran *Met )
5		xmetunirn 22142	. . . . . 6 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . . 5 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
7		iscfil2 23064	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` dom dom D ) /\ A. r e. RR+ E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r ) ) )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` dom dom D ) /\ A. r e. RR+ E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r ) ) )
9	8	ibi 256	. . 3 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> ( F e. ( Fil ` dom dom D ) /\ A. r e. RR+ E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r ) )
10	9	simprd 479	. 2 |- ( F e. (CauFil ` D ) -> A. r e. RR+ E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r )
11		breq2 4657	. . . . 5 |- ( r = R -> ( ( y D z ) < r <-> ( y D z ) < R ) )
12	11	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( r = R -> ( A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r <-> A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < R ) )
13	12	rexbidv 3052	. . 3 |- ( r = R -> ( E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r <-> E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < R ) )
14	13	rspccva 3308	. 2 |- ( ( A. r e. RR+ E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < r /\ R e. RR+ ) -> E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < R )
15	10, 14	sylan 488	1 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ R e. RR+ ) -> E. x e. F A. y e. x A. z e. x ( y D z ) < R )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   < clt 10074   RR+crp 11832   [,)cico 12177   *Metcxmt 19731   Filcfil 21649  CauFilccfil 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-xmet 19739  df-fbas 19743  df-fil 21650  df-cfil 23053

This theorem is referenced by:  cfil3i  23067  fgcfil  23069  iscmet3  23091  cfilres  23094