Theorem cfslb2n 9090

Description: Any small collection of small subsets of A cannot have union A, where "small" means smaller than the cofinality. This is a stronger version of cfslb 9088. This is a common application of cofinality: under AC, ( aleph ` 1 ) is regular, so it is not a countable union of countable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cfslb.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
cfslb2n	|- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( B ~< ( cf ` A ) -> U. B =/= A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem cfslb2n

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limord 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim A -> Ord A )
2		ordsson 6989	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> A C_ On )
3		sstr 3611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ A /\ A C_ On ) -> x C_ On )
4	3	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ On -> ( x C_ A -> x C_ On ) )
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( Lim A -> ( x C_ A -> x C_ On ) )
6		onsucuni 7028	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ On -> x C_ suc U. x )
7	5, 6	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( Lim A -> ( x C_ A -> x C_ suc U. x ) )
8	7	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> ( ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> x C_ suc U. x ) )
9	8	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( Lim A -> ( A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> A. x e. B x C_ suc U. x ) )
10		uniiun 4573	. . . . . . 7 |- U. B = U_ x e. B x
11		ss2iun 4536	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B x C_ suc U. x -> U_ x e. B x C_ U_ x e. B suc U. x )
12	10, 11	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( A. x e. B x C_ suc U. x -> U. B C_ U_ x e. B suc U. x )
13	9, 12	syl6 35	. . . . 5 |- ( Lim A -> ( A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> U. B C_ U_ x e. B suc U. x ) )
14	13	imp 445	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> U. B C_ U_ x e. B suc U. x )
15		cfslb.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
16	15	cfslbn 9089	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim A /\ x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> U. x e. A )
17	16	3expib 1268	. . . . . . . 8 |- ( Lim A -> ( ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> U. x e. A ) )
18		ordsucss 7018	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> ( U. x e. A -> suc U. x C_ A ) )
19	1, 17, 18	sylsyld 61	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> ( ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> suc U. x C_ A ) )
20	19	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( Lim A -> ( A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> A. x e. B suc U. x C_ A ) )
21		iunss 4561	. . . . . 6 |- ( U_ x e. B suc U. x C_ A <-> A. x e. B suc U. x C_ A )
22	20, 21	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( Lim A -> ( A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> U_ x e. B suc U. x C_ A ) )
23	22	imp 445	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> U_ x e. B suc U. x C_ A )
24		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( U. B = A -> ( U. B C_ U_ x e. B suc U. x <-> A C_ U_ x e. B suc U. x ) )
25		eqss 3618	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. B suc U. x = A <-> ( U_ x e. B suc U. x C_ A /\ A C_ U_ x e. B suc U. x ) )
26	25	simplbi2com 657	. . . . . 6 |- ( A C_ U_ x e. B suc U. x -> ( U_ x e. B suc U. x C_ A -> U_ x e. B suc U. x = A ) )
27	24, 26	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( U. B = A -> ( U. B C_ U_ x e. B suc U. x -> ( U_ x e. B suc U. x C_ A -> U_ x e. B suc U. x = A ) ) )
28	27	com3l 89	. . . 4 |- ( U. B C_ U_ x e. B suc U. x -> ( U_ x e. B suc U. x C_ A -> ( U. B = A -> U_ x e. B suc U. x = A ) ) )
29	14, 23, 28	sylc 65	. . 3 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( U. B = A -> U_ x e. B suc U. x = A ) )
30		limsuc 7049	. . . . . . . . 9 |- ( Lim A -> ( U. x e. A <-> suc U. x e. A ) )
31	17, 30	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( Lim A -> ( ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> suc U. x e. A ) )
32	31	ralimdv 2963	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> ( A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) -> A. x e. B suc U. x e. A ) )
33	32	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> A. x e. B suc U. x e. A )
34		r19.29 3072	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B suc U. x e. A /\ E. x e. B y = suc U. x ) -> E. x e. B ( suc U. x e. A /\ y = suc U. x ) )
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( y = suc U. x -> ( y e. A <-> suc U. x e. A ) )
36	35	biimparc 504	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc U. x e. A /\ y = suc U. x ) -> y e. A )
37	36	rexlimivw 3029	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. B ( suc U. x e. A /\ y = suc U. x ) -> y e. A )
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. B suc U. x e. A /\ E. x e. B y = suc U. x ) -> y e. A )
39	38	ex 450	. . . . . 6 |- ( A. x e. B suc U. x e. A -> ( E. x e. B y = suc U. x -> y e. A ) )
40	33, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( E. x e. B y = suc U. x -> y e. A ) )
41	40	abssdv 3676	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> { y | E. x e. B y = suc U. x } C_ A )
42		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. x e. _V
43	42	sucex 7011	. . . . . . 7 |- suc U. x e. _V
44	43	dfiun2 4554	. . . . . 6 |- U_ x e. B suc U. x = U. { y | E. x e. B y = suc U. x }
45	44	eqeq1i 2627	. . . . 5 |- ( U_ x e. B suc U. x = A <-> U. { y | E. x e. B y = suc U. x } = A )
46	15	cfslb 9088	. . . . . 6 |- ( ( Lim A /\ { y | E. x e. B y = suc U. x } C_ A /\ U. { y | E. x e. B y = suc U. x } = A ) -> ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } )
47	46	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( Lim A /\ { y | E. x e. B y = suc U. x } C_ A ) -> ( U. { y | E. x e. B y = suc U. x } = A -> ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } ) )
48	45, 47	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( Lim A /\ { y | E. x e. B y = suc U. x } C_ A ) -> ( U_ x e. B suc U. x = A -> ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } ) )
49	41, 48	syldan 487	. . 3 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( U_ x e. B suc U. x = A -> ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B |-> suc U. x ) = ( x e. B |-> suc U. x )
51	50	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. B |-> suc U. x ) = { y | E. x e. B y = suc U. x }
52	43, 50	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B |-> suc U. x ) Fn B
53		dffn4 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B |-> suc U. x ) Fn B <-> ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) )
54	52, 53	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x )
55		relsdom 7962	. . . . . . . . . . 11 |- Rel ~<
56	55	brrelexi 5158	. . . . . . . . . 10 |- ( B ~< ( cf ` A ) -> B e. _V )
57		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( y ~< ( cf ` A ) <-> B ~< ( cf ` A ) ) )
58		foeq2 6112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : y -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) <-> ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ) )
59		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ y <-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ B ) )
60	58, 59	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( ( ( x e. B |-> suc U. x ) : y -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ y ) <-> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ B ) ) )
61	57, 60	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( ( y ~< ( cf ` A ) -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : y -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ y ) ) <-> ( B ~< ( cf ` A ) -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ B ) ) ) )
62		cfon 9077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( cf ` A ) e. On
63		sdomdom 7983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ~< ( cf ` A ) -> y ~<_ ( cf ` A ) )
64		ondomen 8860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( cf ` A ) e. On /\ y ~<_ ( cf ` A ) ) -> y e. dom card )
65	62, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~< ( cf ` A ) -> y e. dom card )
66		fodomnum 8880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. dom card -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : y -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ y ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ~< ( cf ` A ) -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : y -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ y ) )
68	61, 67	vtoclg 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V -> ( B ~< ( cf ` A ) -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ B ) ) )
69	56, 68	mpcom 38	. . . . . . . . 9 |- ( B ~< ( cf ` A ) -> ( ( x e. B |-> suc U. x ) : B -onto-> ran ( x e. B |-> suc U. x ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ B ) )
70	54, 69	mpi 20	. . . . . . . 8 |- ( B ~< ( cf ` A ) -> ran ( x e. B |-> suc U. x ) ~<_ B )
71	51, 70	syl5eqbrr 4689	. . . . . . 7 |- ( B ~< ( cf ` A ) -> { y | E. x e. B y = suc U. x } ~<_ B )
72		domtr 8009	. . . . . . 7 |- ( ( ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } /\ { y | E. x e. B y = suc U. x } ~<_ B ) -> ( cf ` A ) ~<_ B )
73	71, 72	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } /\ B ~< ( cf ` A ) ) -> ( cf ` A ) ~<_ B )
74		domnsym 8086	. . . . . 6 |- ( ( cf ` A ) ~<_ B -> -. B ~< ( cf ` A ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } /\ B ~< ( cf ` A ) ) -> -. B ~< ( cf ` A ) )
76	75	pm2.01da 458	. . . 4 |- ( ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } -> -. B ~< ( cf ` A ) )
77	76	a1i 11	. . 3 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( ( cf ` A ) ~<_ { y | E. x e. B y = suc U. x } -> -. B ~< ( cf ` A ) ) )
78	29, 49, 77	3syld 60	. 2 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( U. B = A -> -. B ~< ( cf ` A ) ) )
79	78	necon2ad 2809	1 |- ( ( Lim A /\ A. x e. B ( x C_ A /\ x ~< ( cf ` A ) ) ) -> ( B ~< ( cf ` A ) -> U. B =/= A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-cf 8767  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  tskuni  9605