Theorem tskuni 9605

Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskuni	|- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> U. A e. T )

Proof of Theorem tskuni

Dummy variables f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsksdom 9578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> A ~< T )
2		cardidg 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. Tarski -> ( card ` T ) ~~ T )
3	2	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. Tarski -> T ~~ ( card ` T ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> T ~~ ( card ` T ) )
5		sdomentr 8094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A ~< T /\ T ~~ ( card ` T ) ) -> A ~< ( card ` T ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> A ~< ( card ` T ) )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A |-> ( f " x ) ) = ( x e. A |-> ( f " x ) )
8	7	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. A |-> ( f " x ) ) = { z | E. x e. A z = ( f " x ) }
9		cardon 8770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( card ` T ) e. On
10		sdomdom 7983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A ~< ( card ` T ) -> A ~<_ ( card ` T ) )
11		ondomen 8860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( card ` T ) e. On /\ A ~<_ ( card ` T ) ) -> A e. dom card )
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A ~< ( card ` T ) -> A e. dom card )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. T /\ A ~< ( card ` T ) ) -> A e. dom card )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
15	14	imaex 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f " x ) e. _V
16	15, 7	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( f " x ) ) Fn A
17		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A |-> ( f " x ) ) Fn A <-> ( x e. A |-> ( f " x ) ) : A -onto-> ran ( x e. A |-> ( f " x ) ) )
18	16, 17	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A |-> ( f " x ) ) : A -onto-> ran ( x e. A |-> ( f " x ) )
19		fodomnum 8880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. dom card -> ( ( x e. A |-> ( f " x ) ) : A -onto-> ran ( x e. A |-> ( f " x ) ) -> ran ( x e. A |-> ( f " x ) ) ~<_ A ) )
20	13, 18, 19	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. T /\ A ~< ( card ` T ) ) -> ran ( x e. A |-> ( f " x ) ) ~<_ A )
21	8, 20	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. T /\ A ~< ( card ` T ) ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~<_ A )
22		domsdomtr 8095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~<_ A /\ A ~< ( card ` T ) ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( card ` T ) )
23	21, 22	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. T /\ A ~< ( card ` T ) ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( card ` T ) )
24	23	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) /\ A ~< ( card ` T ) ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( card ` T ) )
25	6, 24	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( card ` T ) )
26		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. T -> T =/= (/) )
27		tskcard 9603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. Tarski /\ T =/= (/) ) -> ( card ` T ) e. Inacc )
28	26, 27	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> ( card ` T ) e. Inacc )
29		elina 9509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( card ` T ) e. Inacc <-> ( ( card ` T ) =/= (/) /\ ( cf ` ( card ` T ) ) = ( card ` T ) /\ A. x e. ( card ` T ) ~P x ~< ( card ` T ) ) )
30	29	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( card ` T ) e. Inacc -> ( cf ` ( card ` T ) ) = ( card ` T ) )
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> ( cf ` ( card ` T ) ) = ( card ` T ) )
32	25, 31	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. Tarski /\ A e. T ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( cf ` ( card ` T ) ) )
33	32	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( cf ` ( card ` T ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( cf ` ( card ` T ) ) )
35	28	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> ( card ` T ) e. Inacc )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> ( card ` T ) e. Inacc )
37		inawina 9512	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` T ) e. Inacc -> ( card ` T ) e. InaccW )
38		winalim 9517	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` T ) e. InaccW -> Lim ( card ` T ) )
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> Lim ( card ` T ) )
40		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
41		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( z = ( f " x ) <-> y = ( f " x ) ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( E. x e. A z = ( f " x ) <-> E. x e. A y = ( f " x ) ) )
43	40, 42	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } <-> E. x e. A y = ( f " x ) )
44		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f " x ) C_ ran f
45		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> f : U. A -onto-> ( card ` T ) )
46		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : U. A -onto-> ( card ` T ) -> ran f = ( card ` T ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> ran f = ( card ` T ) )
48	44, 47	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> ( f " x ) C_ ( card ` T ) )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> ( f " x ) C_ ( card ` T ) )
50		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> f : U. A -1-1-> ( card ` T ) )
51		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
52		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
53	52	f1imaen 8018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : U. A -1-1-> ( card ` T ) /\ x C_ U. A ) -> ( f " x ) ~~ x )
54	50, 51, 53	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) /\ x e. A ) -> ( f " x ) ~~ x )
55	54	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> ( f " x ) ~~ x )
56		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ x e. A ) -> T e. Tarski )
57		trss 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr T -> ( A e. T -> A C_ T ) )
58	57	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Tr T /\ A e. T ) -> A C_ T )
59	58	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> A C_ T )
60	59	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ x e. A ) -> x e. T )
61		tsksdom 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T e. Tarski /\ x e. T ) -> x ~< T )
62	56, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ x e. A ) -> x ~< T )
63	56, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ x e. A ) -> T ~~ ( card ` T ) )
64		sdomentr 8094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x ~< T /\ T ~~ ( card ` T ) ) -> x ~< ( card ` T ) )
65	62, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ x e. A ) -> x ~< ( card ` T ) )
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> x ~< ( card ` T ) )
67		ensdomtr 8096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f " x ) ~~ x /\ x ~< ( card ` T ) ) -> ( f " x ) ~< ( card ` T ) )
68	55, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> ( f " x ) ~< ( card ` T ) )
69	36, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> ( cf ` ( card ` T ) ) = ( card ` T ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> ( cf ` ( card ` T ) ) = ( card ` T ) )
71	68, 70	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> ( f " x ) ~< ( cf ` ( card ` T ) ) )
72		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( f " x ) -> ( y C_ ( card ` T ) <-> ( f " x ) C_ ( card ` T ) ) )
73		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( f " x ) -> ( y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) <-> ( f " x ) ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) )
74	72, 73	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( f " x ) -> ( ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) <-> ( ( f " x ) C_ ( card ` T ) /\ ( f " x ) ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) ) )
75	74	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f " x ) C_ ( card ` T ) /\ ( f " x ) ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) -> ( y = ( f " x ) -> ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) ) )
76	49, 71, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) /\ x e. A ) -> ( y = ( f " x ) -> ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) ) )
77	76	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> ( E. x e. A y = ( f " x ) -> ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) ) )
78	43, 77	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> ( y e. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } -> ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) ) )
79	78	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> A. y e. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) )
80		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( card ` T ) e. _V
81	80	cfslb2n 9090	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim ( card ` T ) /\ A. y e. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ( y C_ ( card ` T ) /\ y ~< ( cf ` ( card ` T ) ) ) ) -> ( { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( cf ` ( card ` T ) ) -> U. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } =/= ( card ` T ) ) )
82	39, 79, 81	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> ( { z | E. x e. A z = ( f " x ) } ~< ( cf ` ( card ` T ) ) -> U. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } =/= ( card ` T ) ) )
83	34, 82	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> U. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } =/= ( card ` T ) )
84	15	dfiun2 4554	. . . . . . . 8 |- U_ x e. A ( f " x ) = U. { z | E. x e. A z = ( f " x ) }
85	48	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . 10 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> A. x e. A ( f " x ) C_ ( card ` T ) )
86		iunss 4561	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ x e. A ( f " x ) C_ ( card ` T ) <-> A. x e. A ( f " x ) C_ ( card ` T ) )
87	85, 86	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> U_ x e. A ( f " x ) C_ ( card ` T ) )
88		fof 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. A -onto-> ( card ` T ) -> f : U. A --> ( card ` T ) )
89		foelrn 6378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : U. A -onto-> ( card ` T ) /\ y e. ( card ` T ) ) -> E. z e. U. A y = ( f ` z ) )
90	89	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. A -onto-> ( card ` T ) -> ( y e. ( card ` T ) -> E. z e. U. A y = ( f ` z ) ) )
91		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. U. A <-> E. x e. A z e. x )
92		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x f : U. A --> ( card ` T )
93		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x U_ x e. A ( f " x )
94	93	nfel2 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( f ` z ) e. U_ x e. A ( f " x )
95		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( f " x ) C_ U_ x e. A ( f " x ) )
96	95	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : U. A --> ( card ` T ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> ( f " x ) C_ U_ x e. A ( f " x ) )
97		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : U. A --> ( card ` T ) -> f Fn U. A )
98	97	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : U. A --> ( card ` T ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> f Fn U. A )
99	51	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : U. A --> ( card ` T ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> x C_ U. A )
100		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : U. A --> ( card ` T ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> z e. x )
101		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f Fn U. A /\ x C_ U. A /\ z e. x ) -> ( f ` z ) e. ( f " x ) )
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : U. A --> ( card ` T ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> ( f ` z ) e. ( f " x ) )
103	96, 102	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : U. A --> ( card ` T ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> ( f ` z ) e. U_ x e. A ( f " x ) )
104	103	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : U. A --> ( card ` T ) -> ( x e. A -> ( z e. x -> ( f ` z ) e. U_ x e. A ( f " x ) ) ) )
105	92, 94, 104	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : U. A --> ( card ` T ) -> ( E. x e. A z e. x -> ( f ` z ) e. U_ x e. A ( f " x ) ) )
106	91, 105	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. A --> ( card ` T ) -> ( z e. U. A -> ( f ` z ) e. U_ x e. A ( f " x ) ) )
107		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` z ) e. U_ x e. A ( f " x ) -> ( y = ( f ` z ) -> y e. U_ x e. A ( f " x ) ) )
108	106, 107	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. A --> ( card ` T ) -> ( z e. U. A -> ( y = ( f ` z ) -> y e. U_ x e. A ( f " x ) ) ) )
109	108	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. A --> ( card ` T ) -> ( E. z e. U. A y = ( f ` z ) -> y e. U_ x e. A ( f " x ) ) )
110	88, 90, 109	sylsyld 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : U. A -onto-> ( card ` T ) -> ( y e. ( card ` T ) -> y e. U_ x e. A ( f " x ) ) )
111	45, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> ( y e. ( card ` T ) -> y e. U_ x e. A ( f " x ) ) )
112	111	ssrdv 3609	. . . . . . . . 9 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> ( card ` T ) C_ U_ x e. A ( f " x ) )
113	87, 112	eqssd 3620	. . . . . . . 8 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> U_ x e. A ( f " x ) = ( card ` T ) )
114	84, 113	syl5eqr 2670	. . . . . . 7 |- ( f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) -> U. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } = ( card ` T ) )
115	114	necon3ai 2819	. . . . . 6 |- ( U. { z | E. x e. A z = ( f " x ) } =/= ( card ` T ) -> -. f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) )
116	83, 115	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) /\ f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) -> -. f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) )
117	116	pm2.01da 458	. . . 4 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> -. f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) )
118	117	nexdv 1864	. . 3 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> -. E. f f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) )
119		entr 8008	. . . . . . 7 |- ( ( U. A ~~ T /\ T ~~ ( card ` T ) ) -> U. A ~~ ( card ` T ) )
120	3, 119	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( U. A ~~ T /\ T e. Tarski ) -> U. A ~~ ( card ` T ) )
121		bren 7964	. . . . . 6 |- ( U. A ~~ ( card ` T ) <-> E. f f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) )
122	120, 121	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( U. A ~~ T /\ T e. Tarski ) -> E. f f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) )
123	122	expcom 451	. . . 4 |- ( T e. Tarski -> ( U. A ~~ T -> E. f f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) )
124	123	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> ( U. A ~~ T -> E. f f : U. A -1-1-onto-> ( card ` T ) ) )
125	118, 124	mtod 189	. 2 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> -. U. A ~~ T )
126		uniss 4458	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ T -> U. A C_ U. T )
127		df-tr 4753	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr T <-> U. T C_ T )
128	127	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( Tr T -> U. T C_ T )
129	126, 128	sylan9ss 3616	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ T /\ Tr T ) -> U. A C_ T )
130	129	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( Tr T -> ( A C_ T -> U. A C_ T ) )
131	57, 130	syld 47	. . . . . 6 |- ( Tr T -> ( A e. T -> U. A C_ T ) )
132	131	imp 445	. . . . 5 |- ( ( Tr T /\ A e. T ) -> U. A C_ T )
133		tsken 9576	. . . . 5 |- ( ( T e. Tarski /\ U. A C_ T ) -> ( U. A ~~ T \/ U. A e. T ) )
134	132, 133	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( T e. Tarski /\ ( Tr T /\ A e. T ) ) -> ( U. A ~~ T \/ U. A e. T ) )
135	134	3impb 1260	. . 3 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> ( U. A ~~ T \/ U. A e. T ) )
136	135	ord 392	. 2 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> ( -. U. A ~~ T -> U. A e. T ) )
137	125, 136	mpd 15	1 |- ( ( T e. Tarski /\ Tr T /\ A e. T ) -> U. A e. T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Tr wtr 4752   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   cardccrd 8761   cfccf 8763   InaccWcwina 9504   Inacccina 9505   Tarskictsk 9570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-smo 7443  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-har 8463  df-r1 8627  df-card 8765  df-aleph 8766  df-cf 8767  df-acn 8768  df-ac 8939  df-wina 9506  df-ina 9507  df-tsk 9571

This theorem is referenced by:  tskwun  9606  tskint  9607  tskun  9608  tskurn  9611  pwinfi3  37868