clsk1indlem3 - Mathbox for Richard Penner

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Theorem clsk1indlem3 38341

Description: The ansatz closure function

has the K3 property of being sub-linear. (Contributed by RP, 6-Jul-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clsk1indlem.k

**Assertion**
Ref	Expression
clsk1indlem3

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem clsk1indlem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elif 4128	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$
2		uneq12 3762	. . . . . . . . . . 11 $/\$
3		unidm 3756	. . . . . . . . . . 11
4	2, 3	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 $/\$
5		an3 868	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	orcd 407	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
7	6	orcd 407	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
8	7	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
9		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
10	9	impd 447	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
11	8, 10	jaao 531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
12	4, 11	mpdan 702	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
14		uneqsn 38321	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
15		df-3or 1038	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
16	14, 15	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
17		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
18	17	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
19	17	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
20	18, 19	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
22		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
24	23	adantld 483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
25	21, 24	jaod 395	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
26	16, 25	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
27	26	impd 447	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
28		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
29	28	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
31		andi 911	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
32		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
33	32	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
36	33, 35	orim12i 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
37	31, 36	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
38	30, 37	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
39	38	olcd 408	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
40		or4 550	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
41	39, 40	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
42	41	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
43	27, 42	jaod 395	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
45	13, 44	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
46		orc 400	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
47	46	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$
48	47	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52		snsspr1 4345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	51, 52	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	53	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55	54	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
56	50, 55	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
57	56	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
58	57	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$
59		olc 399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
60	59	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$
61	58, 60	jaoa 532	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
62	28, 61	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
64	49, 63	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
65		olc 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
66	65	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
68	67	adantrd 484	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
69		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
70	69	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73	72, 52	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74	73	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75	74	anc2li 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
77	71, 76	orim12d 883	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
78	77	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
79	28, 78	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
81	68, 80	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
82	64, 81	orim12d 883	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
83	82	com12 32	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
84		or42 551	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
85	83, 84	syl6ib 241	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
86	85	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
87		4exmid 997	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
88	87	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
89	45, 86, 88	mpjaod 396	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
90	1, 89	syl5bi 232	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
91		elun 3753	. . . . . 6 $\/$
92		elif 4128	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
93		elif 4128	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$
94	92, 93	orbi12i 543	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
95	91, 94	sylbbr 226	. . . . 5 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96	90, 95	syl6 35	. . . 4 $/\$
97	96	ssrdv 3609	. . 3 $/\$
98		3on 7570	. . . . . 6
99	98	a1i 11	. . . . 5 $/\$
100		elpwi 4168	. . . . . 6
101		elpwi 4168	. . . . . 6
102		unss 3787	. . . . . . 7 $/\$
103	102	biimpi 206	. . . . . 6 $/\$
104	100, 101, 103	syl2an 494	. . . . 5 $/\$
105	99, 104	sselpwd 4807	. . . 4 $/\$
106		eqeq1 2626	. . . . . 6
107		id 22	. . . . . 6
108	106, 107	ifbieq2d 4111	. . . . 5
109		clsk1indlem.k	. . . . 5
110		prex 4909	. . . . . 6
111		vex 3203	. . . . . . 7
112		vex 3203	. . . . . . 7
113	111, 112	unex 6956	. . . . . 6
114	110, 113	ifex 4156	. . . . 5
115	108, 109, 114	fvmpt 6282	. . . 4
116	105, 115	syl 17	. . 3 $/\$
117		eqeq1 2626	. . . . . . 7
118		id 22	. . . . . . 7
119	117, 118	ifbieq2d 4111	. . . . . 6
120	110, 111	ifex 4156	. . . . . 6
121	119, 109, 120	fvmpt 6282	. . . . 5
122	121	adantr 481	. . . 4 $/\$
123		eqeq1 2626	. . . . . . 7
124		id 22	. . . . . . 7
125	123, 124	ifbieq2d 4111	. . . . . 6
126	110, 112	ifex 4156	. . . . . 6
127	125, 109, 126	fvmpt 6282	. . . . 5
128	127	adantl 482	. . . 4 $/\$
129	122, 128	uneq12d 3768	. . 3 $/\$
130	97, 116, 129	3sstr4d 3648	. 2 $/\$
131	130	rgen2a 2977	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

csn 4177

cpr 4179

cmpt 4729

con0 5723

cfv 5888

c1o 7553

c3o 7555

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-xor 1465 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-ord 5726 df-on 5727 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fv 5896 df-1o 7560 df-2o 7561 df-3o 7562

This theorem is referenced by: clsk1independent 38344

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