Theorem cnvordtrestixx 29959

Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvordtrestixx.1	|- A C_ RR*
cnvordtrestixx.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )

Assertion

Ref	Expression
cnvordtrestixx	|- ( (ordTop ` <_ ) ↾t A ) = (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnvordtrestixx

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lern 17225	. . . . 5 |- RR* = ran <_
2		df-rn 5125	. . . . 5 |- ran <_ = dom `' <_
3	1, 2	eqtri 2644	. . . 4 |- RR* = dom `' <_
4		letsr 17227	. . . . . 6 |- <_ e. TosetRel
5		cnvtsr 17222	. . . . . 6 |- ( <_ e. TosetRel -> `' <_ e. TosetRel )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' <_ e. TosetRel
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> `' <_ e. TosetRel )
8		cnvordtrestixx.1	. . . . 5 |- A C_ RR*
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> A C_ RR* )
10		brcnvg 5303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ z e. RR* ) -> ( y `' <_ z <-> z <_ y ) )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( y `' <_ z <-> z <_ y ) )
12		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> z e. RR* )
13		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> x e. A )
14		brcnvg 5303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR* /\ x e. A ) -> ( z `' <_ x <-> x <_ z ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( z `' <_ x <-> x <_ z ) )
16	11, 15	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) <-> ( z <_ y /\ x <_ z ) ) )
17		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( z <_ y /\ x <_ z ) <-> ( x <_ z /\ z <_ y ) )
18	16, 17	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ z e. RR* ) -> ( ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) <-> ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
19	18	rabbidva 3188	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> { z e. RR* | ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) } = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
20		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> x e. A )
21	8, 20	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> x e. RR* )
22		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> y e. A )
23	8, 22	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> y e. RR* )
24		iccval 12214	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x [,] y ) = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
25	21, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( x [,] y ) = { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
26		cnvordtrestixx.2	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )
27	26	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )
28	25, 27	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } C_ A )
29	19, 28	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> { z e. RR* | ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) } C_ A )
30	29	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. RR* | ( y `' <_ z /\ z `' <_ x ) } C_ A )
31	3, 7, 9, 30	ordtrest2 21008	. . 3 |- ( T. -> (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` `' <_ ) ↾t A ) )
32	31	trud 1493	. 2 |- (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` `' <_ ) ↾t A )
33		tsrps 17221	. . . . 5 |- ( <_ e. TosetRel -> <_ e. PosetRel )
34	4, 33	ax-mp 5	. . . 4 |- <_ e. PosetRel
35		ordtcnv 21005	. . . 4 |- ( <_ e. PosetRel -> (ordTop ` `' <_ ) = (ordTop ` <_ ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 |- (ordTop ` `' <_ ) = (ordTop ` <_ )
37	36	oveq1i 6660	. 2 |- ( (ordTop ` `' <_ ) ↾t A ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t A )
38	32, 37	eqtr2i 2645	1 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t A ) = (ordTop ` ( `' <_ i^i ( A X. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081  ordTopcordt 16159   PosetRelcps 17198   TosetRel ctsr 17199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  29982