tpr2rico - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem tpr2rico 29958

Description: For any point of an open set of the usual topology on

there is an open square which contains that point and is entirely in the open set. This is square is actually a ball by the

norm

. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
tpr2rico.0
tpr2rico.1
tpr2rico.2

**Assertion**
Ref	Expression
tpr2rico	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem tpr2rico Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 12179	. . . . . . . . . 10 $/\$
2	1	ixxf 12185	. . . . . . . . 9
3		ffn 6045	. . . . . . . . 9
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
5		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . 14
6		tpr2rico.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16
7		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . . . 16
8	6, 7	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15
9		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10	6	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	9, 10	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	8, 8, 11, 11	txunii 21396	. . . . . . . . . . . . . 14
13	5, 12	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
17		xp1st 7198	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
20	19	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
21	20	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
22	18, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	18, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
26		fnovrn 6809	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	4, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
28		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . 11
29	16, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	29, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
31	30	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	29, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
33	32	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34		fnovrn 6809	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	4, 31, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		eqidd 2623	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
37		xpeq1 5128	. . . . . . . . 9
38	37	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8
39		xpeq2 5129	. . . . . . . . 9
40	39	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8
41	38, 40	rspc2ev 3324	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
42	27, 35, 36, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$
43		eqid 2622	. . . . . . 7
44		vex 3203	. . . . . . . 8
45		vex 3203	. . . . . . . 8
46	44, 45	xpex 6962	. . . . . . 7
47	43, 46	elrnmpt2 6773	. . . . . 6
48	42, 47	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $/\$
49		tpr2rico.2	. . . . 5
50	48, 49	syl6eleqr 2712	. . . 4 $/\$ $/\$
51	50	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$
52		xpss 5226	. . . . . . 7
53	52, 16	sseldi 3601	. . . . . 6 $/\$ $/\$
54	18	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	19	rphalfcld 11884	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	18, 55	ltsubrpd 11904	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
57	18, 55	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
58		elioo1 12215	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59	23, 25, 58	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	54, 56, 57, 59	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
61	29	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	29, 55	ltsubrpd 11904	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
63	29, 55	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
64		elioo1 12215	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
65	31, 33, 64	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	61, 62, 63, 65	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
67	60, 66	jca 554	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
68		elxp7 7201	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	53, 67, 68	sylanbrc 698	. . . . 5 $/\$ $/\$
70	69	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$
71		mnfle 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	23, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
73		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	25, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
75		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77		ioossioo 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
79	72, 74, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
80		ioomax 12248	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81	79, 80	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
82		mnfle 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83	31, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
84		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	33, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
86		ioossioo 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
87	75, 76, 86	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
88	83, 85, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
89	88, 80	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
90		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91	81, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
92	91	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
93	92	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	93	ancld 576	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	94	imdistanri 727	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
97		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	3anassrs 1290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
100		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
101		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
103		tpr2rico.1	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	103	cnre2csqima 29957	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
105	99, 100, 102, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ_fld ℂ_fld
107	103, 6, 106	cnrehmeo 22752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ_fld
108	106	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℂ_fld TopOn
109	108	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ_fld
110	12, 109	hmeof1o 21567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ_fld
111		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112	107, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
114	113, 99	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
115	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
116	115	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
117		sqsscirc2 29955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	114, 116, 101, 117	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	101	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
123	121, 122	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	124, 125	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
129	125, 124, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	129, 130	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	123, 126, 131, 133	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	119, 134	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	105, 136	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
138		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . 15
139	107, 110, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14
140		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . 14
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
142		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15
143	139, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
144	116, 143	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
145		funfvima 6492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
146	141, 144, 145	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
147	107, 110	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
148		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
149	147, 100, 148	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
152	137, 146, 151	3syld 60	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	95, 153	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
155	154	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
156	155	ssrdv 3609	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
157	156	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$
158	103	mpt2fun 6762	. . . . . . . . . 10
159	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
160	13	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 $/\$
161		f1odm 6141	. . . . . . . . . . 11
162	107, 110, 161	mp2b 10	. . . . . . . . . 10
163	160, 162	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 $/\$
164		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$
165		funfvima 6492	. . . . . . . . . 10 $/\$
166	165	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
167	159, 163, 164, 166	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 $/\$
168		hmeoima 21568	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld $/\$ ℂ_fld
169	107, 168	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld
170	106	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld
171	170	elmopn2 22250	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld $/\$
172	122, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld $/\$
173	172	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld
174	169, 173	syl 17	. . . . . . . . 9
175	174	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
176		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
177	176	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10
178	177	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9
179	178	rspcva 3307	. . . . . . . 8 $/\$
180	167, 175, 179	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$
181		imass2 5501	. . . . . . . . . 10
182		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . 13
183	107, 110, 182	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12
184		f1imacnv 6153	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
185	183, 13, 184	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
186	185	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10
187	181, 186	syl5ib 234	. . . . . . . . 9
188	187	reximdv 3016	. . . . . . . 8
189	188	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
190	180, 189	mpd 15	. . . . . 6 $/\$
191		r19.29 3072	. . . . . 6 $/\$ $/\$
192	157, 190, 191	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$
193		sstr 3611	. . . . . 6 $/\$
194	193	reximi 3011	. . . . 5 $/\$
195	192, 194	syl 17	. . . 4 $/\$
196		r19.29 3072	. . . 4 $/\$ $/\$
197	70, 195, 196	syl2anc 693	. . 3 $/\$ $/\$
198		r19.29 3072	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	51, 197, 198	syl2anc 693	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
200		eleq2 2690	. . . . 5
201		sseq1 3626	. . . . 5
202	200, 201	anbi12d 747	. . . 4 $/\$ $/\$
203	202	rspcev 3309	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
204	203	rexlimivw 3029	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
205	199, 204	syl 17	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574

cpw 4158

cuni 4436 class class class wbr 4653

cxp 5112

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cc 9934

cr 9935

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cre 13837

cim 13838

cabs 13974

ctopn 16082

ctg 16098

cxmt 19731

cbl 19733 ℂ_fldccnfld 19746

ctop 20698

ctx 21363

chmeo 21556

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681

This theorem is referenced by: dya2iocnei 30344

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