Theorem crngmgp 18555

Description: A commutative ring's multiplication operation is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
crngmgp	|- ( R e. CRing -> G e. CMnd )

Proof of Theorem crngmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
2	1	iscrng 18554	. 2 |- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ G e. CMnd ) )
3	2	simprbi 480	1 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-cring 18550

This theorem is referenced by:  crngcom  18562  gsummgp0  18608  prdscrngd  18613  crngbinom  18621  unitabl  18668  subrgcrng  18784  sraassa  19325  mplbas2  19470  evlslem6  19513  evlslem3  19514  evlslem1  19515  evls1gsummul  19690  evl1gsummul  19724  mamuvs2  20212  matgsumcl  20266  madetsmelbas  20270  madetsmelbas2  20271  mdetleib2  20394  mdetf  20401  mdetdiaglem  20404  mdetdiag  20405  mdetdiagid  20406  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  mdetuni0  20427  smadiadetlem4  20475  chpscmat  20647  chp0mat  20651  chpidmat  20652  amgmlem  24716  amgm  24717  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  mdetpmtr1  29889  mgpsumunsn  42140  mgpsumz  42141  mgpsumn  42142  amgmwlem  42548  amgmlemALT  42549