Theorem wilthlem2 24795

Description: Lemma for wilth 24797: induction step. The "hand proof" version of this theorem works by writing out the list of all numbers from 1 to P - 1 in pairs such that a number is paired with its inverse. Every number has a unique inverse different from itself except 1 and P - 1, and so each pair multiplies to 1, and 1 and P - 1 == -u 1 multiply to -u 1, so the full product is equal to -u 1. Here we make this precise by doing the product pair by pair.

The induction hypothesis says that every subset S of 1 ... ( P - 1 ) that is closed under inverse (i.e. all pairs are matched up) and contains P - 1 multiplies to -u 1 mod P. Given such a set, we take out one element z =/= P - 1. If there are no such elements, then S = { P - 1 } which forms the base case. Otherwise, S \ { z , z ^ -u 1 } is also closed under inverse and contains P - 1, so the induction hypothesis says that this equals -u 1; and the remaining two elements are either equal to each other, in which case wilthlem1 24794 gives that z = 1 or P - 1, and we've already excluded the second case, so the product gives 1; or z =/= z ^ -u 1 and their product is 1. In either case the accumulated product is unaffected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wilthlem.t	|- T = (mulGrp ` ℂfld )
wilthlem.a	|- A = { x e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) | ( ( P - 1 ) e. x /\ A. y e. x ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x ) }
wilthlem2.p	|- ( ph -> P e. Prime )
wilthlem2.s	|- ( ph -> S e. A )
wilthlem2.r	|- ( ph -> A. s e. A ( s C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )

Assertion

Ref	Expression
wilthlem2	|- ( ph -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )

Distinct variable groups:   x, s, y, A   P, s, x, y   ph, x, y   S, s, x, y   T, s, x, y

Allowed substitution hint:   ph( s)

Proof of Theorem wilthlem2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> S C_ { ( P - 1 ) } )
2		wilthlem2.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. A )
3		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = S -> ( ( P - 1 ) e. x <-> ( P - 1 ) e. S ) )
4		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = S -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x <-> ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) )
5	4	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = S -> ( A. y e. x ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x <-> A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) )
6	3, 5	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = S -> ( ( ( P - 1 ) e. x /\ A. y e. x ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x ) <-> ( ( P - 1 ) e. S /\ A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) ) )
7		wilthlem.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = { x e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) | ( ( P - 1 ) e. x /\ A. y e. x ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x ) }
8	6, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. A <-> ( S e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( P - 1 ) e. S /\ A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) ) )
9	2, 8	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( P - 1 ) e. S /\ A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) ) )
10	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) e. S /\ A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) )
11	10	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. S )
12	11	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { ( P - 1 ) } C_ S )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> { ( P - 1 ) } C_ S )
14	1, 13	eqssd 3620	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> S = { ( P - 1 ) } )
15	14	reseq2d 5396	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> ( _I |` S ) = ( _I |` { ( P - 1 ) } ) )
16		mptresid 5456	. . . . . . 7 |- ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) = ( _I |` { ( P - 1 ) } )
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> ( _I |` S ) = ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> ( T gsumg ( _I |` S ) ) = ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) )
19	18	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) mod P ) )
20		wilthlem2.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
21		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. NN )
23	22	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. CC )
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
25		negsub 10329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P + -u 1 ) = ( P - 1 ) )
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P + -u 1 ) = ( P - 1 ) )
27		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
28		addcom 10222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( P + -u 1 ) = ( -u 1 + P ) )
29	23, 27, 28	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P + -u 1 ) = ( -u 1 + P ) )
30	26, 29	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - 1 ) = ( -u 1 + P ) )
31		cnring 19768	. . . . . . . . . 10 |- ℂfld e. Ring
32		wilthlem.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = (mulGrp ` ℂfld )
33	32	ringmgp 18553	. . . . . . . . . 10 |- (ℂfld e. Ring -> T e. Mnd )
34	31, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. Mnd )
35		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
36	22, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
37	36	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. CC )
38		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ( Base ` ℂfld )
39	32, 38	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 |- CC = ( Base ` T )
40		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P - 1 ) -> z = ( P - 1 ) )
41	39, 40	gsumsn 18354	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. Mnd /\ ( P - 1 ) e. CC /\ ( P - 1 ) e. CC ) -> ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) = ( P - 1 ) )
42	34, 37, 37, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) = ( P - 1 ) )
43	23	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 + ( 1 x. P ) ) = ( -u 1 + P ) )
45	30, 42, 44	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) = ( -u 1 + ( 1 x. P ) ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) mod P ) = ( ( -u 1 + ( 1 x. P ) ) mod P ) )
47		neg1rr 11125	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
49	22	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. RR+ )
50		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
51		modcyc 12705	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. RR /\ P e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( -u 1 + ( 1 x. P ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u 1 + ( 1 x. P ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
53	46, 52	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
54	53	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> ( ( T gsumg ( z e. { ( P - 1 ) } |-> z ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
55	19, 54	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ S C_ { ( P - 1 ) } ) -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
56	55	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( S C_ { ( P - 1 ) } -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
57		nss 3663	. . 3 |- ( -. S C_ { ( P - 1 ) } <-> E. z ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) )
58		cnfld1 19771	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
59	32, 58	ringidval 18503	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 0g ` T )
60		cnfldmul 19752	. . . . . . . . . 10 |- x. = ( .r ` ℂfld )
61	32, 60	mgpplusg 18493	. . . . . . . . 9 |- x. = ( +g ` T )
62		cncrng 19767	. . . . . . . . . . 11 |- ℂfld e. CRing
63	32	crngmgp 18555	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld e. CRing -> T e. CMnd )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- T e. CMnd
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> T e. CMnd )
66	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> S e. A )
67		f1oi 6174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _I |` S ) : S -1-1-onto-> S
68		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _I |` S ) : S -1-1-onto-> S -> ( _I |` S ) : S --> S )
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` S ) : S --> S
70	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
71	70	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
72		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> z e. ZZ )
73	72	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... ( P - 1 ) ) C_ ZZ
74	71, 73	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ ZZ )
75		zsscn 11385	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ C_ CC
76	74, 75	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
77		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _I |` S ) : S --> S /\ S C_ CC ) -> ( _I |` S ) : S --> CC )
78	69, 76, 77	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( _I |` S ) : S --> CC )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( _I |` S ) : S --> CC )
80		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... ( P - 1 ) ) e. Fin
81		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... ( P - 1 ) ) e. Fin /\ S C_ ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> S e. Fin )
82	80, 71, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. Fin )
83		1ex 10035	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. _V )
85	78, 82, 84	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( _I |` S ) finSupp 1 )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( _I |` S ) finSupp 1 )
87		disjdif 4040	. . . . . . . . . 10 |- ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } i^i ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = (/)
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } i^i ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = (/) )
89		undif2 4044	. . . . . . . . . 10 |- ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } u. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } u. S )
90		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> z e. S )
91	10	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S )
93		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( y ^ ( P - 2 ) ) = ( z ^ ( P - 2 ) ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
95	94	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S <-> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) )
96	95	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. S -> ( A. y e. S ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) )
97	90, 92, 96	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S )
98		prssi 4353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. S /\ ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S ) -> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } C_ S )
99	90, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } C_ S )
100		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . 11 |- ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } C_ S <-> ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } u. S ) = S )
101	99, 100	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } u. S ) = S )
102	89, 101	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> S = ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } u. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
103	39, 59, 61, 65, 66, 79, 86, 88, 102	gsumsplit 18328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( _I |` S ) ) = ( ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) )
104	99	resabs1d 5428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( _I |` S ) |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) = ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
106		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ S
107		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ S -> ( ( _I |` S ) |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I |` S ) |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
109	108	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) = ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) = ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) )
111	105, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( ( _I |` S ) |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) = ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) )
112	103, 111	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( _I |` S ) ) = ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) )
113	112	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) )
114		prfi 8235	. . . . . . . . . 10 |- { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } e. Fin
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } e. Fin )
116		zsubrg 19799	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
117	32	subrgsubm 18793	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` T ) )
118	116, 117	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ZZ e. (SubMnd ` T ) )
119		f1oi 6174	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } -1-1-onto-> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) }
120		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } -1-1-onto-> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } -> ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } --> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
121	119, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } --> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) }
122	74	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> S C_ ZZ )
123	99, 122	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } C_ ZZ )
124		fss 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } --> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } /\ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } C_ ZZ ) -> ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } --> ZZ )
125	121, 123, 124	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) : { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } --> ZZ )
126	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> 1 e. _V )
127	125, 115, 126	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) finSupp 1 )
128	59, 65, 115, 118, 125, 127	gsumsubmcl 18319	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) e. ZZ )
129	128	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) e. RR )
130		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> 1 e. RR )
131	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> S C_ ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
132	131	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
133		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( P - 1 ) ) e. Fin /\ ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. Fin )
134	80, 132, 133	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. Fin )
135		f1oi 6174	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -1-1-onto-> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
136		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -1-1-onto-> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) --> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
137	135, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) --> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
138	122	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ ZZ )
139		fss 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) --> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) /\ ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ ZZ ) -> ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) --> ZZ )
140	137, 138, 139	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) : ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) --> ZZ )
141	140, 134, 126	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) finSupp 1 )
142	59, 65, 134, 118, 140, 141	gsumsubmcl 18319	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) e. ZZ )
143	49	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P e. RR+ )
144	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> T e. Mnd )
145	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> S C_ CC )
146	145, 90	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> z e. CC )
147		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> w = z )
148	39, 147	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. Mnd /\ z e. CC /\ z e. CC ) -> ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) = z )
149	144, 146, 146, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) = z )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) = z )
151		mptresid 5456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { z } |-> w ) = ( _I |` { z } )
152		dfsn2 4190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z } = { z , z }
153		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> z = 1 )
154	153	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( z = 1 \/ z = ( P - 1 ) ) )
155	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P e. Prime )
156	131, 90	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> z e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
157		wilthlem1 24794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ z e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( z = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) <-> ( z = 1 \/ z = ( P - 1 ) ) ) )
158	155, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( z = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) <-> ( z = 1 \/ z = ( P - 1 ) ) ) )
159	158	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ ( z = 1 \/ z = ( P - 1 ) ) ) -> z = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
160	154, 159	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> z = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
161	160	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> { z , z } = { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
162	152, 161	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> { z } = { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
163	162	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( _I |` { z } ) = ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
164	151, 163	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( w e. { z } |-> w ) = ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) = ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
166	150, 165, 153	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = 1 )
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z = 1 ) -> ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
168		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } = ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
169	168	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) = ( _I |` ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
170		mptresid 5456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) |-> w ) = ( _I |` ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
171	169, 170	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) = ( w e. ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) |-> w )
172	171	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( T gsumg ( w e. ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) |-> w ) )
173	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> T e. CMnd )
174		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z } e. Fin
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> { z } e. Fin )
176		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { z } -> w = z )
177	176	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ w e. { z } ) -> w = z )
178	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ w e. { z } ) -> z e. CC )
179	177, 178	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ w e. { z } ) -> w e. CC )
180	179	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) /\ w e. { z } ) -> w e. CC )
181	145, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. CC )
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. CC )
183		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. z e. { ( P - 1 ) } )
184		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { ( P - 1 ) } <-> z = ( P - 1 ) )
185	183, 184	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. z = ( P - 1 ) )
186		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z = ( P - 1 ) -> ( z = 1 <-> ( z = ( P - 1 ) \/ z = 1 ) ) )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( z = 1 <-> ( z = ( P - 1 ) \/ z = 1 ) ) )
188		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. _V
189	188	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z } <-> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z )
190		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z <-> z = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
191	189, 190	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z } <-> z = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
192		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = ( P - 1 ) \/ z = 1 ) <-> ( z = 1 \/ z = ( P - 1 ) ) )
193	158, 191, 192	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z } <-> ( z = ( P - 1 ) \/ z = 1 ) ) )
194	187, 193	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( z = 1 <-> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z } ) )
195	194	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( z =/= 1 <-> -. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z } ) )
196	195	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> -. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z } )
197		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> w = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
198	39, 61, 173, 175, 180, 182, 196, 182, 197	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( T gsumg ( w e. ( { z } u. { ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) |-> w ) ) = ( ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
199	172, 198	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
200	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) = z )
201	200	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( ( T gsumg ( w e. { z } |-> w ) ) x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) = ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
202	199, 201	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) = ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) mod P ) = ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) mod P ) )
204	156, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> z e. ZZ )
205	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P e. NN )
206		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ z e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || z )
207	205, 156, 206	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. P || z )
208		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P )
209	208	prmdiv 15490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ z e. ZZ /\ -. P || z ) -> ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) - 1 ) ) )
210	155, 204, 207, 209	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) - 1 ) ) )
211	210	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P || ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) - 1 ) )
212		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
213	156, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> z e. NN )
214	131, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
215		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. NN )
216	214, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. NN )
217	213, 216	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) e. NN )
218	217	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) e. ZZ )
219		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> 1 e. ZZ )
220		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) - 1 ) ) )
221	205, 218, 219, 220	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) - 1 ) ) )
222	211, 221	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
223	222	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( ( z x. ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
224	203, 223	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ z =/= 1 ) -> ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
225	167, 224	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
226		modmul1 12723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) e. ZZ /\ P e. RR+ ) /\ ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) ) -> ( ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) = ( ( 1 x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) )
227	129, 130, 142, 143, 225, 226	syl221anc 1337	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( T gsumg ( _I |` { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) = ( ( 1 x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) )
228	142	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) e. CC )
229	228	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( 1 x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) = ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) )
230	229	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( 1 x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) = ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) mod P ) )
231		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... ( P - 1 ) ) e. _V
232	231	elpw2 4828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C_ ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
233	132, 232	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
234	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. S )
235		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( P - 1 ) <-> ( P - 1 ) = z )
236	184, 235	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { ( P - 1 ) } <-> ( P - 1 ) = z )
237	183, 236	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. ( P - 1 ) = z )
238		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) = ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) )
239	238	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
240	205, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
241		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
242	240, 241	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
243		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( P - 1 ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
245		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
246	155, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P e. ZZ )
247	122, 234	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
248		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ZZ
249		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) - 1 ) e. ZZ )
250	247, 248, 249	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) - 1 ) e. ZZ )
251		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) - 1 ) e. ZZ ) -> P || ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) )
252	246, 250, 251	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P || ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) )
253	205	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P e. CC )
254	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> 1 e. CC )
255	240	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
256	253, 254, 255	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) = ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( 1 x. ( P - 1 ) ) ) )
257	253, 255	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P x. ( P - 1 ) ) e. CC )
258	257, 253, 254	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( P - 1 ) ) = ( ( ( P x. ( P - 1 ) ) - P ) + 1 ) )
259	255	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( 1 x. ( P - 1 ) ) = ( P - 1 ) )
260	259	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( 1 x. ( P - 1 ) ) ) = ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( P - 1 ) ) )
261	253, 255, 254	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) = ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( P x. 1 ) ) )
262	253	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P x. 1 ) = P )
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( P x. 1 ) ) = ( ( P x. ( P - 1 ) ) - P ) )
264	261, 263	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) = ( ( P x. ( P - 1 ) ) - P ) )
265	264	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( P x. ( P - 1 ) ) - P ) + 1 ) )
266	258, 260, 265	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P x. ( P - 1 ) ) - ( 1 x. ( P - 1 ) ) ) = ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
267	256, 266	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) = ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
268	267	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) )
269	250	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) - 1 ) e. CC )
270	253, 269	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) e. CC )
271		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) )
272	270, 24, 271	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) )
273	268, 272	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) - 1 ) = ( P x. ( ( P - 1 ) - 1 ) ) )
274	252, 273	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> P || ( ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) - 1 ) )
275	131, 234	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
276		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. NN /\ ( P - 1 ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( P - 1 ) )
277	205, 275, 276	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. P || ( P - 1 ) )
278		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P )
279	278	prmdiveq 15491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Prime /\ ( P - 1 ) e. ZZ /\ -. P || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) - 1 ) ) <-> ( P - 1 ) = ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
280	155, 247, 277, 279	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( ( P - 1 ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( ( P - 1 ) x. ( P - 1 ) ) - 1 ) ) <-> ( P - 1 ) = ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
281	244, 274, 280	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) = ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
282	208	prmdivdiv 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ z e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> z = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
283	155, 156, 282	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> z = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
284	281, 283	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) = z <-> ( ( ( P - 1 ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
285	239, 284	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> ( P - 1 ) = z ) )
286	237, 285	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
287		ioran 511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( P - 1 ) = z \/ ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) <-> ( -. ( P - 1 ) = z /\ -. ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
288	237, 286, 287	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. ( ( P - 1 ) = z \/ ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
289		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P - 1 ) e. _V
290	289	elpr 4198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P - 1 ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } <-> ( ( P - 1 ) = z \/ ( P - 1 ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
291	288, 290	sylnibr 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> -. ( P - 1 ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
292	234, 291	eldifd 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( P - 1 ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
293		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> y e. S )
294	92	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S )
295	293, 294	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) -> ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. S )
296		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) <-> ( y e. S /\ -. y e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
297	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> P e. Prime )
298	131	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> y e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
299		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P )
300	299	prmdivdiv 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. Prime /\ y e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> y = ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
301	297, 298, 300	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> y = ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
302		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) = ( z ^ ( P - 2 ) ) )
303	302	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z -> ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
304	303	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z -> ( y = ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) <-> y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
305	301, 304	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z -> y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
306		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) = ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) )
307	306	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
308	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> z = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) )
309	301, 308	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( y = z <-> ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
310	307, 309	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) -> y = z ) )
311	305, 310	orim12d 883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z \/ ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) -> ( y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) \/ y = z ) ) )
312		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. _V
313	312	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } <-> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = z \/ ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
314		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
315	314	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } <-> ( y = z \/ y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) )
316		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = z \/ y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) ) <-> ( y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) \/ y = z ) )
317	315, 316	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } <-> ( y = ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) \/ y = z ) )
318	311, 313, 317	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } -> y e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
319	318	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( -. y e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } -> -. ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
320	319	impr 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ ( y e. S /\ -. y e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) -> -. ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
321	296, 320	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) -> -. ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
322	295, 321	eldifd 3585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) /\ y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) -> ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
323	322	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> A. y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) )
324	292, 323	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( P - 1 ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) /\ A. y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
325		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( ( P - 1 ) e. x <-> ( P - 1 ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
326		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x <-> ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
327	326	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( A. y e. x ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x <-> A. y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
328	325, 327	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( ( ( P - 1 ) e. x /\ A. y e. x ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. x ) <-> ( ( P - 1 ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) /\ A. y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) )
329	328, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. A <-> ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. ~P ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( P - 1 ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) /\ A. y e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ( ( y ^ ( P - 2 ) ) mod P ) e. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) )
330	233, 324, 329	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. A )
331		wilthlem2.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. s e. A ( s C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
332	331	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> A. s e. A ( s C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
333		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11 |- ( { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } C_ S <-> ( S i^i { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) = { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
334	99, 333	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S i^i { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) = { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } )
335		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
336	335	prnz 4310	. . . . . . . . . . 11 |- { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } =/= (/)
337	336	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } =/= (/) )
338	334, 337	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S i^i { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) =/= (/) )
339		disj4 4025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S i^i { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) = (/) <-> -. ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C. S )
340	339	necon2abii 2844	. . . . . . . . 9 |- ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C. S <-> ( S i^i { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) =/= (/) )
341	338, 340	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C. S )
342		psseq1 3694	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( s C. S <-> ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C. S ) )
343		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( _I |` s ) = ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) )
344	343	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( T gsumg ( _I |` s ) ) = ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) )
345	344	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) mod P ) )
346	345	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) <-> ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
347	342, 346	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) -> ( ( s C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) <-> ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) ) )
348	347	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) e. A -> ( A. s e. A ( s C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` s ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) C. S -> ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) ) )
349	330, 332, 341, 348	syl3c 66	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
350	230, 349	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( 1 x. ( T gsumg ( _I |` ( S \ { z , ( ( z ^ ( P - 2 ) ) mod P ) } ) ) ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
351	113, 227, 350	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) ) -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
352	351	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
353	352	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ph -> ( E. z ( z e. S /\ -. z e. { ( P - 1 ) } ) -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
354	57, 353	syl5bi 232	. 2 |- ( ph -> ( -. S C_ { ( P - 1 ) } -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
355	56, 354	pm2.61d 170	1 |- ( ph -> ( ( T gsumg ( _I |` S ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  wilthlem3  24796