Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | zringbas 19824 |
. . . . 5
ℤring |
2 | | zring0 19828 |
. . . . 5
ℤring |
3 | | zringabl 19822 |
. . . . . 6
ℤring |
4 | | ablcmn 18199 |
. . . . . 6
ℤring ℤring CMnd |
5 | 3, 4 | mp1i 13 |
. . . . 5
ℤring CMnd |
6 | | lgseisen.1 |
. . . . . . . . . 10
|
7 | 6 | eldifad 3586 |
. . . . . . . . 9
|
8 | | lgseisen.7 |
. . . . . . . . . 10
ℤ/nℤ |
9 | 8 | znfld 19909 |
. . . . . . . . 9
Field |
10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . . . . 8
Field |
11 | | isfld 18756 |
. . . . . . . . 9
Field
|
12 | 11 | simprbi 480 |
. . . . . . . 8
Field |
13 | 10, 12 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
14 | | lgseisen.8 |
. . . . . . . 8
mulGrp |
15 | 14 | crngmgp 18555 |
. . . . . . 7
CMnd |
16 | 13, 15 | syl 17 |
. . . . . 6
CMnd |
17 | | cmnmnd 18208 |
. . . . . 6
CMnd |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . 5
|
19 | | fzfid 12772 |
. . . . 5
|
20 | | m1expcl 12883 |
. . . . . . . 8
|
21 | 20 | adantl 482 |
. . . . . . 7
|
22 | | eqidd 2623 |
. . . . . . 7
|
23 | | crngring 18558 |
. . . . . . . . . . 11
|
24 | 13, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
25 | | lgseisen.9 |
. . . . . . . . . . 11
RHom |
26 | 25 | zrhrhm 19860 |
. . . . . . . . . 10
ℤring RingHom |
27 | 24, 26 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
ℤring
RingHom |
28 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
|
29 | 1, 28 | rhmf 18726 |
. . . . . . . . 9
ℤring RingHom |
30 | 27, 29 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
31 | 30 | feqmptd 6249 |
. . . . . . 7
|
32 | | fveq2 6191 |
. . . . . . 7
|
33 | 21, 22, 31, 32 | fmptco 6396 |
. . . . . 6
|
34 | | zringmpg 19840 |
. . . . . . . . 9
mulGrpℂfld ↾s
mulGrpℤring |
35 | 34, 14 | rhmmhm 18722 |
. . . . . . . 8
ℤring RingHom mulGrpℂfld ↾s MndHom |
36 | 27, 35 | syl 17 |
. . . . . . 7
mulGrpℂfld
↾s MndHom |
37 | | neg1cn 11124 |
. . . . . . . . . . 11
|
38 | | neg1ne0 11126 |
. . . . . . . . . . 11
|
39 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . 12
mulGrpℂfld mulGrpℂfld |
40 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . 12
mulGrpℂfld ↾s
mulGrpℂfld
↾s |
41 | 39, 40 | expghm 19844 |
. . . . . . . . . . 11
ℤring mulGrpℂfld
↾s |
42 | 37, 38, 41 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . 10
ℤring mulGrpℂfld ↾s
|
43 | | ghmmhm 17670 |
. . . . . . . . . 10
ℤring mulGrpℂfld
↾s ℤring MndHom mulGrpℂfld
↾s |
44 | 42, 43 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
ℤring MndHom
mulGrpℂfld ↾s |
45 | | cnring 19768 |
. . . . . . . . . 10
ℂfld |
46 | | cnfldbas 19750 |
. . . . . . . . . . . 12
ℂfld |
47 | | cnfld0 19770 |
. . . . . . . . . . . 12
ℂfld |
48 | | cndrng 19775 |
. . . . . . . . . . . 12
ℂfld |
49 | 46, 47, 48 | drngui 18753 |
. . . . . . . . . . 11
Unitℂfld |
50 | 49, 39 | unitsubm 18670 |
. . . . . . . . . 10
ℂfld SubMndmulGrpℂfld |
51 | 45, 50 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
SubMndmulGrpℂfld |
52 | 40 | resmhm2 17360 |
. . . . . . . . 9
ℤring MndHom mulGrpℂfld
↾s SubMndmulGrpℂfld ℤring MndHom mulGrpℂfld |
53 | 44, 51, 52 | mp2an 708 |
. . . . . . . 8
ℤring MndHom
mulGrpℂfld |
54 | | zsubrg 19799 |
. . . . . . . . . 10
SubRingℂfld |
55 | 39 | subrgsubm 18793 |
. . . . . . . . . 10
SubRingℂfld
SubMndmulGrpℂfld |
56 | 54, 55 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
SubMndmulGrpℂfld |
57 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . 11
|
58 | 21, 57 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . . 10
|
59 | | frn 6053 |
. . . . . . . . . 10
|
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
61 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
mulGrpℂfld ↾s
mulGrpℂfld
↾s |
62 | 61 | resmhm2b 17361 |
. . . . . . . . 9
SubMndmulGrpℂfld ℤring MndHom
mulGrpℂfld
ℤring MndHom mulGrpℂfld
↾s |
63 | 56, 60, 62 | sylancr 695 |
. . . . . . . 8
ℤring MndHom mulGrpℂfld
ℤring MndHom mulGrpℂfld
↾s |
64 | 53, 63 | mpbii 223 |
. . . . . . 7
ℤring MndHom mulGrpℂfld
↾s |
65 | | mhmco 17362 |
. . . . . . 7
mulGrpℂfld
↾s MndHom ℤring MndHom mulGrpℂfld
↾s ℤring MndHom |
66 | 36, 64, 65 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
ℤring MndHom |
67 | 33, 66 | eqeltrrd 2702 |
. . . . 5
ℤring MndHom |
68 | | lgseisen.2 |
. . . . . . . . . . . 12
|
69 | 68 | eldifad 3586 |
. . . . . . . . . . 11
|
70 | | prmnn 15388 |
. . . . . . . . . . 11
|
71 | 69, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
72 | 71 | nnred 11035 |
. . . . . . . . 9
|
73 | | prmnn 15388 |
. . . . . . . . . 10
|
74 | 7, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
75 | 72, 74 | nndivred 11069 |
. . . . . . . 8
|
76 | 75 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
77 | | 2nn 11185 |
. . . . . . . . 9
|
78 | | elfznn 12370 |
. . . . . . . . . 10
|
79 | 78 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
|
80 | | nnmulcl 11043 |
. . . . . . . . 9
|
81 | 77, 79, 80 | sylancr 695 |
. . . . . . . 8
|
82 | 81 | nnred 11035 |
. . . . . . 7
|
83 | 76, 82 | remulcld 10070 |
. . . . . 6
|
84 | 83 | flcld 12599 |
. . . . 5
|
85 | | eqid 2622 |
. . . . . 6
|
86 | | fvexd 6203 |
. . . . . 6
|
87 | | c0ex 10034 |
. . . . . . 7
|
88 | 87 | a1i 11 |
. . . . . 6
|
89 | 85, 19, 86, 88 | fsuppmptdm 8286 |
. . . . 5
finSupp |
90 | | oveq2 6658 |
. . . . . 6
|
91 | 90 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
|
92 | | oveq2 6658 |
. . . . . 6
ℤring g
ℤring g
|
93 | 92 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
ℤring g
ℤring g |
94 | 1, 2, 5, 18, 19, 67, 84, 89, 91, 93 | gsummhm2 18339 |
. . . 4
g ℤring g |
95 | 14, 28 | mgpbas 18495 |
. . . . . . 7
|
96 | | eqid 2622 |
. . . . . . . 8
|
97 | 14, 96 | mgpplusg 18493 |
. . . . . . 7
|
98 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
99 | | m1expcl 12883 |
. . . . . . . . 9
|
100 | 84, 99 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
101 | 98, 100 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . 7
|
102 | | neg1z 11413 |
. . . . . . . . . 10
|
103 | | lgseisen.4 |
. . . . . . . . . . 11
|
104 | 69 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
105 | | prmz 15389 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
106 | 104, 105 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
107 | 81 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
108 | 106, 107 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . 12
|
109 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
110 | 109, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
111 | 108, 110 | zmodcld 12691 |
. . . . . . . . . . 11
|
112 | 103, 111 | syl5eqel 2705 |
. . . . . . . . . 10
|
113 | | zexpcl 12875 |
. . . . . . . . . 10
|
114 | 102, 112,
113 | sylancr 695 |
. . . . . . . . 9
|
115 | 114, 106 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . 8
|
116 | 98, 115 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . 7
|
117 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
|
118 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
|
119 | 95, 97, 16, 19, 101, 116, 117, 118 | gsummptfidmadd2 18326 |
. . . . . 6
g g g |
120 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . 9
|
121 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . 9
|
122 | 19, 101, 116, 120, 121 | offval2 6914 |
. . . . . . . 8
|
123 | 27 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
ℤring RingHom |
124 | | zringmulr 19827 |
. . . . . . . . . . . 12
ℤring |
125 | 1, 124, 96 | rhmmul 18727 |
. . . . . . . . . . 11
ℤring
RingHom |
126 | 123, 100,
115, 125 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
|
127 | 108 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
128 | 110 | nnrpd 11870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
129 | | modval 12670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
130 | 127, 128,
129 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
131 | 103, 130 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
132 | 106 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
133 | 81 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
134 | 110 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
135 | 110 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
136 | 132, 133,
134, 135 | div23d 10838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
137 | 136 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
138 | 137 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
139 | 138 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
140 | 131, 139 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
141 | 140 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
142 | | prmz 15389 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
143 | 109, 142 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
144 | 143, 84 | zmulcld 11488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
145 | 144 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
146 | 108 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
147 | 145, 146 | pncan3d 10395 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
148 | | 2cnd 11093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
149 | 79 | nncnd 11036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
150 | 132, 148,
149 | mul12d 10245 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
151 | 141, 147,
150 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
152 | 151 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
153 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
154 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
155 | 112 | nn0zd 11480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
156 | | expaddz 12904 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
157 | 153, 154,
144, 155, 156 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
158 | | expmulz 12906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
159 | 153, 154,
143, 84, 158 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
160 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
161 | | eldifsni 4320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
162 | 6, 161 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
163 | 162 | necomd 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
164 | 163 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
165 | 164 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
166 | | 2z 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
167 | | uzid 11702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
168 | 166, 167 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
169 | | dvdsprm 15415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
170 | 168, 109,
169 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
171 | 165, 170 | mtbird 315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
172 | | oexpneg 15069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
173 | 160, 110,
171, 172 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
174 | | 1exp 12889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
175 | 143, 174 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
176 | 175 | negeqd 10275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
177 | 173, 176 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
178 | 177 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
179 | 159, 178 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
180 | 179 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
181 | 157, 180 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
182 | | nnmulcl 11043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
183 | 71, 78, 182 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
184 | 183 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
185 | | 2nn0 11309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
186 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
187 | 153, 184,
186 | expmuld 13011 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
188 | | neg1sqe1 12959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
189 | 188 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
190 | 183 | nnzd 11481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
191 | | 1exp 12889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
192 | 190, 191 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
193 | 189, 192 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
194 | 187, 193 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
195 | 152, 181,
194 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
196 | 195 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
|
197 | 100 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
198 | 114 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
199 | 197, 198,
132 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . . . . 12
|
200 | 132 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . . 12
|
201 | 196, 199,
200 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . 11
|
202 | 201 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
|
203 | 126, 202 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . 9
|
204 | 203 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . . . 8
|
205 | 122, 204 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
|
206 | 205 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
g g
|
207 | | lgseisen.3 |
. . . . . . . 8
|
208 | | lgseisen.5 |
. . . . . . . 8
|
209 | | lgseisen.6 |
. . . . . . . 8
|
210 | 6, 68, 207, 103, 208, 209, 8, 14, 25 | lgseisenlem3 25102 |
. . . . . . 7
g |
211 | 210 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
g g g
|
212 | 119, 206,
211 | 3eqtr3rd 2665 |
. . . . 5
g g
|
213 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
|
214 | 101, 117 | fmptd 6385 |
. . . . . . 7
|
215 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . 8
|
216 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . 8
|
217 | 117, 19, 215, 216 | fsuppmptdm 8286 |
. . . . . . 7
finSupp |
218 | 95, 213, 16, 19, 214, 217 | gsumcl 18316 |
. . . . . 6
g |
219 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
|
220 | 28, 96, 219 | ringridm 18572 |
. . . . . 6
g g g |
221 | 24, 218, 220 | syl2anc 693 |
. . . . 5
g g
|
222 | 69, 105 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
223 | 30, 222 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . 7
|
224 | | eqid 2622 |
. . . . . . . 8
.g .g |
225 | 95, 224 | gsumconst 18334 |
. . . . . . 7
g .g |
226 | 18, 19, 223, 225 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
g .g |
227 | | oddprm 15515 |
. . . . . . . . . 10
|
228 | 6, 227 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
229 | 228 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . 8
|
230 | | hashfz1 13134 |
. . . . . . . 8
|
231 | 229, 230 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
232 | 231 | oveq1d 6665 |
. . . . . 6
.g .g |
233 | 34, 1 | mgpbas 18495 |
. . . . . . . . 9
mulGrpℂfld ↾s |
234 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . 9
.gmulGrpℂfld
↾s .gmulGrpℂfld ↾s |
235 | 233, 234,
224 | mhmmulg 17583 |
. . . . . . . 8
mulGrpℂfld
↾s MndHom .gmulGrpℂfld
↾s .g |
236 | 36, 229, 222, 235 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
.gmulGrpℂfld ↾s .g |
237 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
SubMndmulGrpℂfld |
238 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . 11
.gmulGrpℂfld .gmulGrpℂfld |
239 | 238, 61, 234 | submmulg 17586 |
. . . . . . . . . 10
SubMndmulGrpℂfld
.gmulGrpℂfld .gmulGrpℂfld
↾s |
240 | 237, 229,
222, 239 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . 9
.gmulGrpℂfld .gmulGrpℂfld
↾s |
241 | 222 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . 10
|
242 | | cnfldexp 19779 |
. . . . . . . . . 10
.gmulGrpℂfld |
243 | 241, 229,
242 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
.gmulGrpℂfld |
244 | 240, 243 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . 8
.gmulGrpℂfld
↾s |
245 | 244 | fveq2d 6195 |
. . . . . . 7
.gmulGrpℂfld ↾s |
246 | 236, 245 | eqtr3d 2658 |
. . . . . 6
.g |
247 | 226, 232,
246 | 3eqtrd 2660 |
. . . . 5
g |
248 | 212, 221,
247 | 3eqtr3d 2664 |
. . . 4
g |
249 | | subrgsubg 18786 |
. . . . . . . . . 10
SubRingℂfld
SubGrpℂfld |
250 | 54, 249 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
SubGrpℂfld |
251 | | subgsubm 17616 |
. . . . . . . . 9
SubGrpℂfld
SubMndℂfld |
252 | 250, 251 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
SubMndℂfld |
253 | 84, 85 | fmptd 6385 |
. . . . . . . 8
|
254 | | df-zring 19819 |
. . . . . . . 8
ℤring
ℂfld
↾s |
255 | 19, 252, 253, 254 | gsumsubm 17373 |
. . . . . . 7
ℂfld g
ℤring g |
256 | 84 | zcnd 11483 |
. . . . . . . 8
|
257 | 19, 256 | gsumfsum 19813 |
. . . . . . 7
ℂfld g
|
258 | 255, 257 | eqtr3d 2658 |
. . . . . 6
ℤring g
|
259 | 258 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
ℤring g
|
260 | 259 | fveq2d 6195 |
. . . 4
ℤring g |
261 | 94, 248, 260 | 3eqtr3d 2664 |
. . 3
|
262 | 74 | nnnn0d 11351 |
. . . 4
|
263 | | zexpcl 12875 |
. . . . 5
|
264 | 222, 229,
263 | syl2anc 693 |
. . . 4
|
265 | 19, 84 | fsumzcl 14466 |
. . . . 5
|
266 | | m1expcl 12883 |
. . . . 5
|
267 | 265, 266 | syl 17 |
. . . 4
|
268 | 8, 25 | zndvds 19898 |
. . . 4
|
269 | 262, 264,
267, 268 | syl3anc 1326 |
. . 3
|
270 | 261, 269 | mpbid 222 |
. 2
|
271 | | moddvds 14991 |
. . 3
|
272 | 74, 264, 267, 271 | syl3anc 1326 |
. 2
|
273 | 270, 272 | mpbird 247 |
1
|