Theorem smadiadetlem4 20475

Description: Lemma 4 for smadiadet 20476. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	|- A = ( N Mat R )
marep01ma.b	|- B = ( Base ` A )
marep01ma.r	|- R e. CRing
marep01ma.0	|- .0. = ( 0g ` R )
marep01ma.1	|- .1. = ( 1r ` R )
smadiadetlem.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
smadiadetlem.g	|- G = (mulGrp ` R )
madetminlem.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
madetminlem.s	|- S = (pmSgn ` N )
madetminlem.t	|- .x. = ( .r ` R )
smadiadetlem.w	|- W = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
smadiadetlem.z	|- Z = (pmSgn ` ( N \ { K } ) )

Assertion

Ref

Expression

smadiadetlem4

|- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> ( R gsumg ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. W |-> ( ( ( Y o. Z ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, j, n, B   i, q, K, j, n   i, M, j, n   i, N, j, n   P, i, j, n, q   R, i, j, n   .1. , i, j, n   .0. , i, j, n   n, G, p   B, p   K, p   M, p   N, p   P, p   R, p, i, j   q, p   n, W, p   G, p   Y, p   Z, p   i, G, j

Allowed substitution hints:   A( i, j, n, q, p)   B( q)   R( q)   S( i, j, n, q, p)   .x. ( i, j, n, q, p)   .1. ( q, p)   G( q)   M( q)   N( q)   W( i, j, q)   Y( i, j, n, q)   .0. ( q, p)   Z( i, j, n, q)

Proof of Theorem smadiadetlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.r	. . . . . . . . 9 |- R e. CRing
2		smadiadetlem.g	. . . . . . . . . 10 |- G = (mulGrp ` R )
3	2	crngmgp 18555	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
4	1, 3	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> G e. CMnd )
5		marep01ma.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( N Mat R )
6		marep01ma.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` A )
7	5, 6	matrcl 20218	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( M e. B -> N e. Fin )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> N e. Fin )
10	4, 9	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) )
12		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
13		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
14	6	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. B <-> M e. ( Base ` A ) )
15	14	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. B -> M e. ( Base ` A ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> M e. ( Base ` A ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> M e. ( Base ` A ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
19	5, 18	matecl 20231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. N /\ j e. N /\ M e. ( Base ` A ) ) -> ( i M j ) e. ( Base ` R ) )
20	12, 13, 17, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i M j ) e. ( Base ` R ) )
21	2, 18	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` G )
22	20, 21	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i M j ) e. ( Base ` G ) )
23	22	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> A. i e. N A. j e. N ( i M j ) e. ( Base ` G ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> A. i e. N A. j e. N ( i M j ) e. ( Base ` G ) )
25		crngring 18558	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
26		marep01ma.0	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` R )
27	18, 26	ring0cl 18569	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
28	1, 25, 27	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- .0. e. ( Base ` R )
29	28, 21	eleqtri 2699	. . . . . . 7 |- .0. e. ( Base ` G )
30	24, 29	jctir 561	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i M j ) e. ( Base ` G ) /\ .0. e. ( Base ` G ) ) )
31		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> K e. N )
32	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> K e. N )
33		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } )
34		smadiadetlem.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
35		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { q e. P | ( q ` K ) = K } = { q e. P | ( q ` K ) = K }
36		marep01ma.1	. . . . . . . 8 |- .1. = ( 1r ` R )
37	2, 36	ringidval 18503	. . . . . . 7 |- .1. = ( 0g ` G )
38		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
39	34, 35, 37, 38	gsummatr01 20465	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i M j ) e. ( Base ` G ) /\ .0. e. ( Base ` G ) ) /\ ( K e. N /\ K e. N /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) )
40	11, 30, 32, 32, 33, 39	syl113anc 1338	. . . . 5 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( M e. B /\ K e. N ) /\ p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) )
42	41	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) = ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) )
43	42	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> ( R gsumg ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) )
44		madetminlem.y	. . 3 |- Y = ( ZRHom ` R )
45		madetminlem.s	. . 3 |- S = (pmSgn ` N )
46		madetminlem.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
47		smadiadetlem.w	. . 3 |- W = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
48		smadiadetlem.z	. . 3 |- Z = (pmSgn ` ( N \ { K } ) )
49	5, 6, 1, 26, 36, 34, 2, 44, 45, 46, 47, 48	smadiadetlem3 20474	. 2 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> ( R gsumg ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. W |-> ( ( ( Y o. Z ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) )
50	43, 49	eqtrd 2656	1 |- ( ( M e. B /\ K e. N ) -> ( R gsumg ( p e. { q e. P | ( q ` K ) = K } |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = K , .1. , .0. ) , ( i M j ) ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. W |-> ( ( ( Y o. Z ) ` p ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { K } ) |-> ( i M j ) ) ( p ` n ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  smadiadet  20476