Theorem mdetleib2 20394

Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	|- D = ( N maDet R )
mdetfval.a	|- A = ( N Mat R )
mdetfval.b	|- B = ( Base ` A )
mdetfval.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
mdetfval.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
mdetfval.s	|- S = (pmSgn ` N )
mdetfval.t	|- .x. = ( .r ` R )
mdetfval.u	|- U = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
mdetleib2	|- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) .x. ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, p, M   N, p, x   R, p, x   B, p, x   P, p, x   S, p   U, p   Y, p   .x. , p

Allowed substitution hints:   A( x, p)   D( x, p)   S( x)   .x. ( x)   U( x)   Y( x)

Proof of Theorem mdetleib2

Dummy variables y q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval.d	. . . 4 |- D = ( N maDet R )
2		mdetfval.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
3		mdetfval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
4		mdetfval.p	. . . 4 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
5		mdetfval.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
6		mdetfval.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
7		mdetfval.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
8		mdetfval.u	. . . 4 |- U = (mulGrp ` R )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 20393	. . 3 |- ( M e. B -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) ) )
10	9	adantl 482	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) ) )
11		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12		crngring 18558	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
13		ringcmn 18581	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. CMnd )
15	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. CMnd )
16	2, 3	matrcl 20218	. . . . . 6 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
17	16	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
18	17	simpld 475	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> N e. Fin )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
20	19, 4	symgbasfi 17806	. . . 4 |- ( N e. Fin -> P e. Fin )
21	18, 20	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> P e. Fin )
22	12	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> R e. Ring )
23	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
24	5, 6	coeq12i 5285	. . . . . . . . 9 |- ( Y o. S ) = ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) )
25		zrhpsgnmhm 19930	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
26	24, 25	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( Y o. S ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
27	23, 18, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( Y o. S ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
29	28, 11	mgpbas 18495	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
30	4, 29	mhmf 17340	. . . . . . 7 |- ( ( Y o. S ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( Y o. S ) : P --> ( Base ` R ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( Y o. S ) : P --> ( Base ` R ) )
32	31	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` q ) e. ( Base ` R ) )
33	8, 11	mgpbas 18495	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` U )
34	8	crngmgp 18555	. . . . . . 7 |- ( R e. CRing -> U e. CMnd )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> U e. CMnd )
36	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> N e. Fin )
37		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> M e. B )
38	2, 11, 3	matbas2i 20228	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. B -> M e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
39		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) /\ y e. N ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
42	19, 4	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. P -> q : N -1-1-onto-> N )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> q : N -1-1-onto-> N )
44		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( q : N -1-1-onto-> N -> q : N --> N )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> q : N --> N )
46	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) /\ y e. N ) -> ( q ` y ) e. N )
47		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) /\ y e. N ) -> y e. N )
48	41, 46, 47	fovrnd 6806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) /\ y e. N ) -> ( ( q ` y ) M y ) e. ( Base ` R ) )
49	48	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> A. y e. N ( ( q ` y ) M y ) e. ( Base ` R ) )
50	33, 35, 36, 49	gsummptcl 18366	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) e. ( Base ` R ) )
51	11, 7	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( Y o. S ) ` q ) e. ( Base ` R ) /\ ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
52	22, 32, 50, 51	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ q e. P ) -> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
53	52	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> A. q e. P ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
54		eqid 2622	. . 3 |- ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) = ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) )
55		eqid 2622	. . . 4 |- ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) = ( invg ` ( SymGrp ` N ) )
56	19	symggrp 17820	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( SymGrp ` N ) e. Grp )
57	18, 56	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( SymGrp ` N ) e. Grp )
58	4, 55, 57	grpinvf1o 17485	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) : P -1-1-onto-> P )
59	11, 15, 21, 53, 54, 58	gsummptfif1o 18367	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( R gsumg ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) o. ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ) ) )
60		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) : P -1-1-onto-> P -> ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) : P --> P )
61	58, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) : P --> P )
62	61	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) e. P )
63	61	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) = ( p e. P |-> ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) )
64		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) = ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) )
65		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( q = ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) -> ( ( Y o. S ) ` q ) = ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) )
66		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) -> ( q ` y ) = ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( q = ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) -> ( ( q ` y ) M y ) = ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) )
68	67	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( q = ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) -> ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) = ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) )
69	68	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( q = ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) -> ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) = ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) )
70	65, 69	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( q = ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) -> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) = ( ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) ) )
71	62, 63, 64, 70	fmptco 6396	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) o. ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ) = ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) ) ) )
72	19, 4, 55	symginv 17822	. . . . . . . . 9 |- ( p e. P -> ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) = `' p )
73	72	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) = `' p )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) = ( ( Y o. S ) ` `' p ) )
75	12	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> R e. Ring )
76	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> N e. Fin )
77		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> p e. P )
78	4, 5, 6	zrhpsgninv 19931	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ p e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` `' p ) = ( ( Y o. S ) ` p ) )
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` `' p ) = ( ( Y o. S ) ` p ) )
80	74, 79	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) = ( ( Y o. S ) ` p ) )
81		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
82	34	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> U e. CMnd )
83	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
84	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) = `' p )
85	84	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) = ( `' p ` y ) )
86	19, 4	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p e. P -> p : N -1-1-onto-> N )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> p : N -1-1-onto-> N )
88		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> `' p : N -1-1-onto-> N )
89		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' p : N -1-1-onto-> N -> `' p : N --> N )
90	87, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> `' p : N --> N )
91	90	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> ( `' p ` y ) e. N )
92	85, 91	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) e. N )
93		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> y e. N )
94	83, 92, 93	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) e. ( Base ` R ) )
95	94, 33	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ y e. N ) -> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) e. ( Base ` U ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> A. y e. N ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) e. ( Base ` U ) )
97		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) = ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) )
98	81, 82, 76, 96, 97, 87	gsummptfif1o 18367	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) = ( U gsumg ( ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) o. p ) ) )
99		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> p : N --> N )
100	87, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> p : N --> N )
101	100	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ x e. N ) -> ( p ` x ) e. N )
102	100	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> p = ( x e. N |-> ( p ` x ) ) )
103		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) = ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( p ` x ) -> ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) = ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) )
105		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( p ` x ) -> y = ( p ` x ) )
106	104, 105	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( p ` x ) -> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) = ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) M ( p ` x ) ) )
107	101, 102, 103, 106	fmptco 6396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) o. p ) = ( x e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) M ( p ` x ) ) ) )
108	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ x e. N ) -> ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) = `' p )
109	108	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ x e. N ) -> ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) = ( `' p ` ( p ` x ) ) )
110		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p : N -1-1-onto-> N /\ x e. N ) -> ( `' p ` ( p ` x ) ) = x )
111	87, 110	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ x e. N ) -> ( `' p ` ( p ` x ) ) = x )
112	109, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ x e. N ) -> ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) = x )
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) /\ x e. N ) -> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) M ( p ` x ) ) = ( x M ( p ` x ) ) )
114	113	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( x e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` ( p ` x ) ) M ( p ` x ) ) ) = ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) )
115	107, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) o. p ) = ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) )
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( U gsumg ( ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) o. p ) ) = ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) )
117	98, 116	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) = ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) )
118	80, 117	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ M e. B ) /\ p e. P ) -> ( ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) ) = ( ( ( Y o. S ) ` p ) .x. ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) ) )
119	118	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( ( ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ` p ) ` y ) M y ) ) ) ) ) = ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) .x. ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) ) ) )
120	71, 119	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) o. ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ) = ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) .x. ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) ) ) )
121	120	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( R gsumg ( ( q e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` q ) .x. ( U gsumg ( y e. N |-> ( ( q ` y ) M y ) ) ) ) ) o. ( invg ` ( SymGrp ` N ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) .x. ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) ) ) ) )
122	10, 59, 121	3eqtrd 2660	1 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B ) -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( p e. P |-> ( ( ( Y o. S ) ` p ) .x. ( U gsumg ( x e. N |-> ( x M ( p ` x ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   MndHom cmhm 17333   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mdet 20391

This theorem is referenced by:  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdettpos  20417  smadiadet  20476