Theorem evlslem3 19514

Description: Lemma for evlseu 19516. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem1.p	|- P = ( I mPoly R )
evlslem1.b	|- B = ( Base ` P )
evlslem1.c	|- C = ( Base ` S )
evlslem1.k	|- K = ( Base ` R )
evlslem1.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
evlslem1.t	|- T = (mulGrp ` S )
evlslem1.x	|- .^ = (.g ` T )
evlslem1.m	|- .x. = ( .r ` S )
evlslem1.v	|- V = ( I mVar R )
evlslem1.e	|- E = ( p e. B |-> ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( p ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) )
evlslem1.i	|- ( ph -> I e. _V )
evlslem1.r	|- ( ph -> R e. CRing )
evlslem1.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evlslem1.f	|- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )
evlslem1.g	|- ( ph -> G : I --> C )
evlslem3.z	|- .0. = ( 0g ` R )
evlslem3.k	|- ( ph -> A e. D )
evlslem3.q	|- ( ph -> H e. K )

Assertion

Ref	Expression
evlslem3	|- ( ph -> ( E ` ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ) = ( ( F ` H ) .x. ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) ) )

Distinct variable groups:   p, b, x, .0.   B, p   C, b   D, b, p, x   F, b, p   .^ , b, p   h, b, A, p, x   h, I   x, K   ph, b, x   G, b, p   H, b, p, x   S, b, p   T, b, p   .x. , b, p   x, R

Allowed substitution hints:   ph( h, p)   B( x, h, b)   C( x, h, p)   D( h)   P( x, h, p, b)   R( h, p, b)   S( x, h)   T( x, h)   .x. ( x, h)   E( x, h, p, b)   .^ ( x, h)   F( x, h)   G( x, h)   H( h)   I( x, p, b)   K( h, p, b)   V( x, h, p, b)   .0. ( h)

Proof of Theorem evlslem3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem1.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		evlslem1.d	. . . 4 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
3		evlslem3.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
4		evlslem1.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
5		evlslem1.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
6		evlslem1.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. CRing )
7		crngring 18558	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
9		evlslem1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
10		evlslem3.q	. . . 4 |- ( ph -> H e. K )
11		evlslem3.k	. . . 4 |- ( ph -> A e. D )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11	mplmon2cl 19500	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) e. B )
13		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( p = ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) -> ( p ` b ) = ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( p = ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) -> ( F ` ( p ` b ) ) = ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) )
15	14	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( p = ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) -> ( ( F ` ( p ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) )
16	15	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( p = ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) -> ( b e. D |-> ( ( F ` ( p ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) = ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) )
17	16	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( p = ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) -> ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( p ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) )
18		evlslem1.e	. . . 4 |- E = ( p e. B |-> ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( p ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) )
19		ovex 6678	. . . 4 |- ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) e. _V
20	17, 18, 19	fvmpt 6282	. . 3 |- ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) e. B -> ( E ` ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ) = ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) )
21	12, 20	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( E ` ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ) = ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) )
22		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> b e. D )
23		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` R ) e. _V
24	3, 23	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- .0. e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .0. e. _V )
26		ifexg 4157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H e. K /\ .0. e. _V ) -> if ( b = A , H , .0. ) e. _V )
27	10, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( b = A , H , .0. ) e. _V )
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> if ( b = A , H , .0. ) e. _V )
29		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( x = A <-> b = A ) )
30	29	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> if ( x = A , H , .0. ) = if ( b = A , H , .0. ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) = ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) )
32	30, 31	fvmptg 6280	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. D /\ if ( b = A , H , .0. ) e. _V ) -> ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) = if ( b = A , H , .0. ) )
33	22, 28, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) = if ( b = A , H , .0. ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) = ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) )
35	34	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) )
36	35	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) = ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) )
37	36	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) )
38		evlslem1.c	. . . 4 |- C = ( Base ` S )
39		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
40		evlslem1.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CRing )
41		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( S e. CRing -> S e. Ring )
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Ring )
43		ringmnd 18556	. . . . 5 |- ( S e. Ring -> S e. Mnd )
44	42, 43	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> S e. Mnd )
45		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
46	2, 45	rabex2 4815	. . . . 5 |- D e. _V
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
48	42	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> S e. Ring )
49		evlslem1.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )
50	4, 38	rhmf 18726	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F : K --> C )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : K --> C )
52	4, 3	ring0cl 18569	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> .0. e. K )
53	8, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .0. e. K )
54	10, 53	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( b = A , H , .0. ) e. K )
55	51, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) e. C )
56	55	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) e. C )
57		evlslem1.t	. . . . . . . 8 |- T = (mulGrp ` S )
58	57, 38	mgpbas 18495	. . . . . . 7 |- C = ( Base ` T )
59		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
60	57	crngmgp 18555	. . . . . . . . 9 |- ( S e. CRing -> T e. CMnd )
61	40, 60	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CMnd )
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> T e. CMnd )
63	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> I e. _V )
64		cmnmnd 18208	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. CMnd -> T e. Mnd )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. Mnd )
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ ( y e. NN0 /\ z e. C ) ) -> T e. Mnd )
67		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ ( y e. NN0 /\ z e. C ) ) -> y e. NN0 )
68		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ ( y e. NN0 /\ z e. C ) ) -> z e. C )
69		evlslem1.x	. . . . . . . . . 10 |- .^ = (.g ` T )
70	58, 69	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. Mnd /\ y e. NN0 /\ z e. C ) -> ( y .^ z ) e. C )
71	66, 67, 68, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ ( y e. NN0 /\ z e. C ) ) -> ( y .^ z ) e. C )
72	2	psrbagf 19365	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. _V /\ b e. D ) -> b : I --> NN0 )
73	5, 72	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> b : I --> NN0 )
74		evlslem1.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : I --> C )
75	74	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> G : I --> C )
76		inidm 3822	. . . . . . . 8 |- ( I i^i I ) = I
77	71, 73, 75, 63, 63, 76	off 6912	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( b oF .^ G ) : I --> C )
78		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( b oF .^ G ) e. _V
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( b oF .^ G ) e. _V )
80	77	ffund 6049	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> Fun ( b oF .^ G ) )
81		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` T ) e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( 0g ` T ) e. _V )
83	2	psrbag 19364	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. _V -> ( b e. D <-> ( b : I --> NN0 /\ ( `' b " NN ) e. Fin ) ) )
84	5, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. D <-> ( b : I --> NN0 /\ ( `' b " NN ) e. Fin ) ) )
85	84	simplbda 654	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( `' b " NN ) e. Fin )
86	73	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> b Fn I )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> b Fn I )
88	74	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn I )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> G Fn I )
90	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> I e. _V )
91		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) -> y e. I )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> y e. I )
93		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b Fn I /\ G Fn I ) /\ ( I e. _V /\ y e. I ) ) -> ( ( b oF .^ G ) ` y ) = ( ( b ` y ) .^ ( G ` y ) ) )
94	87, 89, 90, 92, 93	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( ( b oF .^ G ) ` y ) = ( ( b ` y ) .^ ( G ` y ) ) )
95		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) -> -. y e. ( `' b " NN ) )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> -. y e. ( `' b " NN ) )
97	91	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) /\ ( b ` y ) e. NN ) -> y e. I )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) /\ ( b ` y ) e. NN ) -> ( b ` y ) e. NN )
99	86	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) /\ ( b ` y ) e. NN ) -> b Fn I )
100		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b Fn I -> ( y e. ( `' b " NN ) <-> ( y e. I /\ ( b ` y ) e. NN ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) /\ ( b ` y ) e. NN ) -> ( y e. ( `' b " NN ) <-> ( y e. I /\ ( b ` y ) e. NN ) ) )
102	97, 98, 101	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) /\ ( b ` y ) e. NN ) -> y e. ( `' b " NN ) )
103	96, 102	mtand 691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> -. ( b ` y ) e. NN )
104		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b : I --> NN0 /\ y e. I ) -> ( b ` y ) e. NN0 )
105	73, 91, 104	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( b ` y ) e. NN0 )
106		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b ` y ) e. NN0 <-> ( ( b ` y ) e. NN \/ ( b ` y ) = 0 ) )
107	105, 106	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( ( b ` y ) e. NN \/ ( b ` y ) = 0 ) )
108		orel1 397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( b ` y ) e. NN -> ( ( ( b ` y ) e. NN \/ ( b ` y ) = 0 ) -> ( b ` y ) = 0 ) )
109	103, 107, 108	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( b ` y ) = 0 )
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( ( b ` y ) .^ ( G ` y ) ) = ( 0 .^ ( G ` y ) ) )
111		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : I --> C /\ y e. I ) -> ( G ` y ) e. C )
112	75, 91, 111	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( G ` y ) e. C )
113	58, 59, 69	mulg0 17546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` y ) e. C -> ( 0 .^ ( G ` y ) ) = ( 0g ` T ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( 0 .^ ( G ` y ) ) = ( 0g ` T ) )
115	94, 110, 114	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. D ) /\ y e. ( I \ ( `' b " NN ) ) ) -> ( ( b oF .^ G ) ` y ) = ( 0g ` T ) )
116	77, 115	suppss 7325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( ( b oF .^ G ) supp ( 0g ` T ) ) C_ ( `' b " NN ) )
117		suppssfifsupp 8290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b oF .^ G ) e. _V /\ Fun ( b oF .^ G ) /\ ( 0g ` T ) e. _V ) /\ ( ( `' b " NN ) e. Fin /\ ( ( b oF .^ G ) supp ( 0g ` T ) ) C_ ( `' b " NN ) ) ) -> ( b oF .^ G ) finSupp ( 0g ` T ) )
118	79, 80, 82, 85, 116, 117	syl32anc 1334	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( b oF .^ G ) finSupp ( 0g ` T ) )
119	58, 59, 62, 63, 77, 118	gsumcl 18316	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) e. C )
120		evlslem1.m	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` S )
121	38, 120	ringcl 18561	. . . . . 6 |- ( ( S e. Ring /\ ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) e. C /\ ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) e. C ) -> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) e. C )
122	48, 56, 119, 121	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. D ) -> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) e. C )
123		eqid 2622	. . . . 5 |- ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) = ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) )
124	122, 123	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) : D --> C )
125		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( D \ { A } ) -> b =/= A )
126	125	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( D \ { A } ) -> -. b = A )
127	126	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( D \ { A } ) -> if ( b = A , H , .0. ) = .0. )
128	127	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> if ( b = A , H , .0. ) = .0. )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) = ( F ` .0. ) )
130		rhmghm 18725	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F e. ( R GrpHom S ) )
131	49, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( R GrpHom S ) )
132	3, 39	ghmid 17666	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( R GrpHom S ) -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` S ) )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` S ) )
134	133	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( F ` .0. ) = ( 0g ` S ) )
135	129, 134	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) = ( 0g ` S ) )
136	135	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( ( 0g ` S ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) )
137	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> S e. Ring )
138		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( D \ { A } ) -> b e. D )
139	138, 119	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) e. C )
140	38, 120, 39	ringlz 18587	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Ring /\ ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) e. C ) -> ( ( 0g ` S ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( 0g ` S ) )
141	137, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( ( 0g ` S ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( 0g ` S ) )
142	136, 141	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( D \ { A } ) ) -> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( 0g ` S ) )
143	142, 47	suppss2 7329	. . . 4 |- ( ph -> ( ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ { A } )
144	38, 39, 44, 47, 11, 124, 143	gsumpt 18361	. . 3 |- ( ph -> ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) = ( ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ` A ) )
145	37, 144	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( S gsumg ( b e. D |-> ( ( F ` ( ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ` b ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ) = ( ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ` A ) )
146		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( b = A -> if ( b = A , H , .0. ) = H )
147	146	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( b = A -> ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) = ( F ` H ) )
148		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( b = A -> ( b oF .^ G ) = ( A oF .^ G ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( b = A -> ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) = ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) )
150	147, 149	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( b = A -> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) = ( ( F ` H ) .x. ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) ) )
151		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( F ` H ) .x. ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) ) e. _V
152	150, 123, 151	fvmpt 6282	. . 3 |- ( A e. D -> ( ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ` A ) = ( ( F ` H ) .x. ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) ) )
153	11, 152	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( b e. D |-> ( ( F ` if ( b = A , H , .0. ) ) .x. ( T gsumg ( b oF .^ G ) ) ) ) ` A ) = ( ( F ` H ) .x. ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) ) )
154	21, 145, 153	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( E ` ( x e. D |-> if ( x = A , H , .0. ) ) ) = ( ( F ` H ) .x. ( T gsumg ( A oF .^ G ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712   mVar cmvr 19352   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  evlslem1  19515