Theorem mdetpmtr1 29889

Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	|- A = ( N Mat R )
mdetpmtr.b	|- B = ( Base ` A )
mdetpmtr.d	|- D = ( N maDet R )
mdetpmtr.g	|- G = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
mdetpmtr.s	|- S = (pmSgn ` N )
mdetpmtr.z	|- Z = ( ZRHom ` R )
mdetpmtr.t	|- .x. = ( .r ` R )
mdetpmtr1.e	|- E = ( i e. N , j e. N |-> ( ( P ` i ) M j ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr1	|- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( D ` M ) = ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( D ` E ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, j   i, G, j   i, M, j   i, N, j   P, i, j   R, i, j

Allowed substitution hints:   A( i, j)   D( i, j)   S( i, j)   .x. ( i, j)   E( i, j)   Z( i, j)

Proof of Theorem mdetpmtr1

Dummy variables p q x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		mdetpmtr.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
5		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> R e. CRing )
6		crngring 18558	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> R e. Ring )
8		mdetpmtr.g	. . . . 5 |- G = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
9		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . 4 |- G e. _V
11	10	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> G e. _V )
12		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> N e. Fin )
13		mdetpmtr.s	. . . . . . 7 |- S = (pmSgn ` N )
14	13, 8	psgndmfi 29846	. . . . . 6 |- ( N e. Fin -> S Fn G )
15		fnfun 5988	. . . . . 6 |- ( S Fn G -> Fun S )
16	12, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> Fun S )
17		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> P e. G )
18		fndm 5990	. . . . . . 7 |- ( S Fn G -> dom S = G )
19	12, 14, 18	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> dom S = G )
20	17, 19	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> P e. dom S )
21		fvco 6274	. . . . 5 |- ( ( Fun S /\ P e. dom S ) -> ( ( Z o. S ) ` P ) = ( Z ` ( S ` P ) ) )
22	16, 20, 21	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( ( Z o. S ) ` P ) = ( Z ` ( S ` P ) ) )
23		mdetpmtr.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZRHom ` R )
24	8, 13, 23	zrhpsgnelbas 19940	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ P e. G ) -> ( Z ` ( S ` P ) ) e. ( Base ` R ) )
25	7, 12, 17, 24	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( Z ` ( S ` P ) ) e. ( Base ` R ) )
26	22, 25	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( ( Z o. S ) ` P ) e. ( Base ` R ) )
27	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> R e. Ring )
28	8, 23, 13	zrhcofipsgn 19939	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ p e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` p ) = ( Z ` ( S ` p ) ) )
29	12, 28	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` p ) = ( Z ` ( S ` p ) ) )
30	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> N e. Fin )
31		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> p e. G )
32	8, 13, 23	zrhpsgnelbas 19940	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ p e. G ) -> ( Z ` ( S ` p ) ) e. ( Base ` R ) )
33	27, 30, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( Z ` ( S ` p ) ) e. ( Base ` R ) )
34	29, 33	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` p ) e. ( Base ` R ) )
35		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
36	35, 1	mgpbas 18495	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
37	35	crngmgp 18555	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
38	37	ad3antrrr 766	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
39		mdetpmtr.a	. . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
40		mdetpmtr.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` A )
41		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> p e. G )
42		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> x e. N )
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
44	43, 8	symgfv 17807	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. G /\ x e. N ) -> ( p ` x ) e. N )
45	41, 42, 44	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> ( p ` x ) e. N )
46		mdetpmtr1.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( i e. N , j e. N |-> ( ( P ` i ) M j ) )
47		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. G )
48		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
49	43, 8	symgfv 17807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. G /\ i e. N ) -> ( P ` i ) e. N )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( P ` i ) e. N )
51		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
52		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> M e. B )
53	39, 1, 40, 50, 51, 52	matecld 20232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( P ` i ) M j ) e. ( Base ` R ) )
54	39, 1, 40, 12, 5, 53	matbas2d 20229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( P ` i ) M j ) ) e. B )
55	46, 54	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> E e. B )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> E e. B )
57	39, 1, 40, 45, 42, 56	matecld 20232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> ( ( p ` x ) E x ) e. ( Base ` R ) )
58	57	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> A. x e. N ( ( p ` x ) E x ) e. ( Base ` R ) )
59	36, 38, 30, 58	gsummptcl 18366	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
60	1, 4	ringcl 18561	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( Z o. S ) ` p ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
61	27, 34, 59, 60	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
62		eqid 2622	. . . 4 |- ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) = ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) )
63	43, 8	symgbasfi 17806	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> G e. Fin )
64	12, 63	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> G e. Fin )
65		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) e. _V )
66		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
67	62, 64, 65, 66	fsuppmptdm 8286	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
68	1, 2, 3, 4, 7, 11, 26, 61, 67	gsummulc2 18607	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) ) )
69		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ q ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) )
70		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( q = ( P o. p ) -> ( ( Z o. S ) ` q ) = ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) )
71		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( q = ( P o. p ) -> ( q ` x ) = ( ( P o. p ) ` x ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( q = ( P o. p ) -> ( ( q ` x ) M x ) = ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) )
73	72	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( q = ( P o. p ) -> ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) = ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) )
74	73	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( q = ( P o. p ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) )
75	70, 74	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( q = ( P o. p ) -> ( ( ( Z o. S ) ` q ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) ) )
76		ringcmn 18581	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
77	7, 76	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> R e. CMnd )
78		ssid 3624	. . . . 5 |- ( Base ` R ) C_ ( Base ` R )
79	78	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( Base ` R ) C_ ( Base ` R ) )
80	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> R e. Ring )
81	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> N e. Fin )
82		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> q e. G )
83	8, 23, 13	zrhcofipsgn 19939	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ q e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` q ) = ( Z ` ( S ` q ) ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` q ) = ( Z ` ( S ` q ) ) )
85	8, 13, 23	zrhpsgnelbas 19940	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ q e. G ) -> ( Z ` ( S ` q ) ) e. ( Base ` R ) )
86	80, 81, 82, 85	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> ( Z ` ( S ` q ) ) e. ( Base ` R ) )
87	84, 86	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` q ) e. ( Base ` R ) )
88	37	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
89		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> N e. Fin )
90		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) /\ x e. N ) -> q e. G )
91		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) /\ x e. N ) -> x e. N )
92	43, 8	symgfv 17807	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. G /\ x e. N ) -> ( q ` x ) e. N )
93	90, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) /\ x e. N ) -> ( q ` x ) e. N )
94		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> M e. B )
95	94	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) /\ x e. N ) -> M e. B )
96	39, 1, 40, 93, 91, 95	matecld 20232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) /\ x e. N ) -> ( ( q ` x ) M x ) e. ( Base ` R ) )
97	96	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> A. x e. N ( ( q ` x ) M x ) e. ( Base ` R ) )
98	36, 88, 89, 97	gsummptcl 18366	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
99	1, 4	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( Z o. S ) ` q ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( Z o. S ) ` q ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
100	80, 87, 98, 99	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> ( ( ( Z o. S ) ` q ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
101		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) = ( +g ` ( SymGrp ` N ) )
102	43, 8, 101	symgov 17810	. . . . . 6 |- ( ( P e. G /\ p e. G ) -> ( P ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) p ) = ( P o. p ) )
103	43, 8, 101	symgcl 17811	. . . . . 6 |- ( ( P e. G /\ p e. G ) -> ( P ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) p ) e. G )
104	102, 103	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( P e. G /\ p e. G ) -> ( P o. p ) e. G )
105	17, 104	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( P o. p ) e. G )
106	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> P e. G )
107	8	symgfcoeu 29845	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ P e. G /\ q e. G ) -> E! p e. G q = ( P o. p ) )
108	81, 106, 82, 107	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ q e. G ) -> E! p e. G q = ( P o. p ) )
109	69, 1, 2, 75, 77, 64, 79, 100, 105, 108	gsummptf1o 18362	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( R gsumg ( q e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` q ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) ) ) ) )
110		mdetpmtr.d	. . . . 5 |- D = ( N maDet R )
111	110, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35	mdetleib 20393	. . . 4 |- ( M e. B -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( q e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` q ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) ) ) ) )
112	111	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( q e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` q ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( q ` x ) M x ) ) ) ) ) ) )
113	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` P ) e. ( Base ` R ) )
114	1, 4	ringass 18564	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( Z o. S ) ` P ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( Z o. S ) ` p ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( Z o. S ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) )
115	27, 113, 34, 59, 114	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( Z o. S ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) )
116	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` P ) = ( Z ` ( S ` P ) ) )
117	116, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( Z o. S ) ` p ) ) = ( ( Z ` ( S ` P ) ) .x. ( Z ` ( S ` p ) ) ) )
118	8, 23, 13	zrhcofipsgn 19939	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ ( P o. p ) e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) = ( Z ` ( S ` ( P o. p ) ) ) )
119	30, 105, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) = ( Z ` ( S ` ( P o. p ) ) ) )
120	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> P e. G )
121	43, 13, 8	psgnco 19929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ P e. G /\ p e. G ) -> ( S ` ( P o. p ) ) = ( ( S ` P ) x. ( S ` p ) ) )
122	30, 120, 31, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( S ` ( P o. p ) ) = ( ( S ` P ) x. ( S ` p ) ) )
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( Z ` ( S ` ( P o. p ) ) ) = ( Z ` ( ( S ` P ) x. ( S ` p ) ) ) )
124	23	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> Z e. (ℤring RingHom R ) )
125	7, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> Z e. (ℤring RingHom R ) )
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> Z e. (ℤring RingHom R ) )
127		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
128		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
129		prssi 4353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> { 1 , -u 1 } C_ ZZ )
130	127, 128, 129	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- { 1 , -u 1 } C_ ZZ
131	8, 13	psgnran 17935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ P e. G ) -> ( S ` P ) e. { 1 , -u 1 } )
132	30, 120, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( S ` P ) e. { 1 , -u 1 } )
133	130, 132	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( S ` P ) e. ZZ )
134	8, 13	psgnran 17935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ p e. G ) -> ( S ` p ) e. { 1 , -u 1 } )
135	30, 31, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( S ` p ) e. { 1 , -u 1 } )
136	130, 135	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( S ` p ) e. ZZ )
137		zringbas 19824	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
138		zringmulr 19827	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
139	137, 138, 4	rhmmul 18727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. (ℤring RingHom R ) /\ ( S ` P ) e. ZZ /\ ( S ` p ) e. ZZ ) -> ( Z ` ( ( S ` P ) x. ( S ` p ) ) ) = ( ( Z ` ( S ` P ) ) .x. ( Z ` ( S ` p ) ) ) )
140	126, 133, 136, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( Z ` ( ( S ` P ) x. ( S ` p ) ) ) = ( ( Z ` ( S ` P ) ) .x. ( Z ` ( S ` p ) ) ) )
141	119, 123, 140	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( Z ` ( S ` P ) ) .x. ( Z ` ( S ` p ) ) ) = ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) )
142	117, 141	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( Z o. S ) ` p ) ) = ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) )
143	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> E = ( i e. N , j e. N |-> ( ( P ` i ) M j ) ) )
144		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> i = ( p ` x ) )
145	144	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( p ` x ) ) )
146		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> p e. G )
147	43, 8	symgbasf 17804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. G -> p : N --> N )
148		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p : N --> N -> Fun p )
149	146, 147, 148	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> Fun p )
150		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> x e. N )
151		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p : N --> N -> dom p = N )
152	146, 147, 151	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> dom p = N )
153	150, 152	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> x e. dom p )
154		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun p /\ x e. dom p ) -> ( ( P o. p ) ` x ) = ( P ` ( p ` x ) ) )
155	149, 153, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> ( ( P o. p ) ` x ) = ( P ` ( p ` x ) ) )
156	145, 155	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P o. p ) ` x ) )
157		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> j = x )
158	156, 157	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) /\ ( i = ( p ` x ) /\ j = x ) ) -> ( ( P ` i ) M j ) = ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) )
159		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) e. _V )
160	143, 158, 45, 42, 159	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) /\ x e. N ) -> ( ( p ` x ) E x ) = ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) )
161	160	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) = ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) )
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) )
163	142, 162	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( Z o. S ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) ) )
164	115, 163	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) /\ p e. G ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) ) )
165	164	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) = ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` ( P o. p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( ( P o. p ) ` x ) M x ) ) ) ) ) ) )
167	109, 112, 166	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( D ` M ) = ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) ) )
168	110, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35	mdetleib 20393	. . . 4 |- ( E e. B -> ( D ` E ) = ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) )
169	55, 168	syl 17	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( D ` E ) = ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) )
170	169	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( D ` E ) ) = ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( R gsumg ( p e. G |-> ( ( ( Z o. S ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( x e. N |-> ( ( p ` x ) E x ) ) ) ) ) ) ) )
171	68, 167, 170	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ ( M e. B /\ P e. G ) ) -> ( D ` M ) = ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( D ` E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mdet 20391

This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  29890  mdetpmtr12  29891