Theorem mamuvs2 20212

Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamuvs2.r	|- ( ph -> R e. CRing )
mamuvs2.b	|- B = ( Base ` R )
mamuvs2.t	|- .x. = ( .r ` R )
mamuvs2.f	|- F = ( R maMul <. M , N , O >. )
mamuvs2.m	|- ( ph -> M e. Fin )
mamuvs2.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mamuvs2.o	|- ( ph -> O e. Fin )
mamuvs2.x	|- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
mamuvs2.y	|- ( ph -> Y e. B )
mamuvs2.z	|- ( ph -> Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mamuvs2	|- ( ph -> ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) = ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs2

Dummy variables i k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) = ( ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ` <. j , k >. )
2		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> j e. N )
3		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> k e. O )
4		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. N /\ k e. O ) -> <. j , k >. e. ( N X. O ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> <. j , k >. e. ( N X. O ) )
6		mamuvs2.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. Fin )
7		mamuvs2.o	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> O e. Fin )
8		xpfi 8231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ O e. Fin ) -> ( N X. O ) e. Fin )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N X. O ) e. Fin )
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( N X. O ) e. Fin )
11		mamuvs2.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. B )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Y e. B )
13		mamuvs2.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
14		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) -> Z : ( N X. O ) --> B )
15		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z : ( N X. O ) --> B -> Z Fn ( N X. O ) )
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Z Fn ( N X. O ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Z Fn ( N X. O ) )
18		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j Z k ) = ( Z ` <. j , k >. )
19	18	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z ` <. j , k >. ) = ( j Z k )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) /\ <. j , k >. e. ( N X. O ) ) -> ( Z ` <. j , k >. ) = ( j Z k ) )
21	10, 12, 17, 20	ofc1 6920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) /\ <. j , k >. e. ( N X. O ) ) -> ( ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ` <. j , k >. ) = ( Y .x. ( j Z k ) ) )
22	5, 21	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ` <. j , k >. ) = ( Y .x. ( j Z k ) ) )
23	1, 22	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) = ( Y .x. ( j Z k ) ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i X j ) .x. ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) ) = ( ( i X j ) .x. ( Y .x. ( j Z k ) ) ) )
25		mamuvs2.r	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CRing )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
27	26	crngmgp 18555	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
30		mamuvs2.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
31		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ( B ^m ( M X. N ) ) -> X : ( M X. N ) --> B )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X : ( M X. N ) --> B )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> X : ( M X. N ) --> B )
34		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> i e. M )
35	33, 34, 2	fovrnd 6806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( i X j ) e. B )
36	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z : ( N X. O ) --> B )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> Z : ( N X. O ) --> B )
38	37, 2, 3	fovrnd 6806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( j Z k ) e. B )
39		mamuvs2.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
40	26, 39	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
41		mamuvs2.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
42	26, 41	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
43	40, 42	cmn12 18213	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. CMnd /\ ( ( i X j ) e. B /\ Y e. B /\ ( j Z k ) e. B ) ) -> ( ( i X j ) .x. ( Y .x. ( j Z k ) ) ) = ( Y .x. ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) )
44	29, 35, 12, 38, 43	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i X j ) .x. ( Y .x. ( j Z k ) ) ) = ( Y .x. ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) )
45	24, 44	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i X j ) .x. ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) ) = ( Y .x. ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) )
46	45	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) ) ) = ( j e. N |-> ( Y .x. ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( Y .x. ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) )
48		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
49		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
50		crngring 18558	. . . . . . . 8 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
51	25, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
52	51	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> R e. Ring )
53	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> N e. Fin )
54	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> Y e. B )
55	51	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> R e. Ring )
56	39, 41	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( i X j ) e. B /\ ( j Z k ) e. B ) -> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) e. B )
57	55, 35, 38, 56	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) e. B )
58		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) )
59		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ j e. N ) -> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) e. _V )
60		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
62	58, 53, 59, 61	fsuppmptdm 8286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
63	39, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 62	gsummulc2 18607	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( Y .x. ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) )
64	47, 63	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) )
65		mamuvs2.f	. . . . 5 |- F = ( R maMul <. M , N , O >. )
66	25	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> R e. CRing )
67		mamuvs2.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. Fin )
68	67	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> M e. Fin )
69	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> O e. Fin )
70	30	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> X e. ( B ^m ( M X. N ) ) )
71		fconst6g 6094	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. B -> ( ( N X. O ) X. { Y } ) : ( N X. O ) --> B )
72	11, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N X. O ) X. { Y } ) : ( N X. O ) --> B )
73		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) e. _V
74	39, 73	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
75		elmapg 7870	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. _V /\ ( N X. O ) e. Fin ) -> ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) <-> ( ( N X. O ) X. { Y } ) : ( N X. O ) --> B ) )
76	74, 9, 75	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) <-> ( ( N X. O ) X. { Y } ) : ( N X. O ) --> B ) )
77	72, 76	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
78	39, 41	ringvcl 20204	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( N X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) /\ Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) ) -> ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
79	51, 77, 13, 78	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
80	79	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
81		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> i e. M )
82		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> k e. O )
83	65, 39, 41, 66, 68, 53, 69, 70, 80, 81, 82	mamufv 20193	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) k ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) k ) ) ) ) )
84		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( i ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) k ) = ( ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) ` <. i , k >. )
85		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( i e. M /\ k e. O ) -> <. i , k >. e. ( M X. O ) )
86	85	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> <. i , k >. e. ( M X. O ) )
87		xpfi 8231	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Fin /\ O e. Fin ) -> ( M X. O ) e. Fin )
88	67, 7, 87	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M X. O ) e. Fin )
89	88	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( M X. O ) e. Fin )
90	39, 51, 65, 67, 6, 7, 30, 13	mamucl 20207	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
91		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( ( X F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( X F Z ) : ( M X. O ) --> B )
92		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( X F Z ) : ( M X. O ) --> B -> ( X F Z ) Fn ( M X. O ) )
93	90, 91, 92	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X F Z ) Fn ( M X. O ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( X F Z ) Fn ( M X. O ) )
95		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( i ( X F Z ) k ) = ( ( X F Z ) ` <. i , k >. )
96	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> Z e. ( B ^m ( N X. O ) ) )
97	65, 39, 41, 66, 68, 53, 69, 70, 96, 81, 82	mamufv 20193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( X F Z ) k ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) )
98	95, 97	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( ( X F Z ) ` <. i , k >. ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ <. i , k >. e. ( M X. O ) ) -> ( ( X F Z ) ` <. i , k >. ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) )
100	89, 54, 94, 99	ofc1 6920	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) /\ <. i , k >. e. ( M X. O ) ) -> ( ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) ` <. i , k >. ) = ( Y .x. ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) )
101	86, 100	mpdan 702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) ` <. i , k >. ) = ( Y .x. ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) )
102	84, 101	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) k ) = ( Y .x. ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X j ) .x. ( j Z k ) ) ) ) ) )
103	64, 83, 102	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( i e. M /\ k e. O ) ) -> ( i ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) k ) = ( i ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) k ) )
104	103	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. i e. M A. k e. O ( i ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) k ) = ( i ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) k ) )
105	39, 51, 65, 67, 6, 7, 30, 79	mamucl 20207	. . . 4 |- ( ph -> ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
106		elmapi 7879	. . . 4 |- ( ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) : ( M X. O ) --> B )
107		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) : ( M X. O ) --> B -> ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) Fn ( M X. O ) )
108	105, 106, 107	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) Fn ( M X. O ) )
109		fconst6g 6094	. . . . . . 7 |- ( Y e. B -> ( ( M X. O ) X. { Y } ) : ( M X. O ) --> B )
110	11, 109	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M X. O ) X. { Y } ) : ( M X. O ) --> B )
111		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ ( M X. O ) e. Fin ) -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) <-> ( ( M X. O ) X. { Y } ) : ( M X. O ) --> B ) )
112	74, 88, 111	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) <-> ( ( M X. O ) X. { Y } ) : ( M X. O ) --> B ) )
113	110, 112	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
114	39, 41	ringvcl 20204	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( M X. O ) X. { Y } ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) /\ ( X F Z ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) ) -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
115	51, 113, 90, 114	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) )
116		elmapi 7879	. . . 4 |- ( ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) e. ( B ^m ( M X. O ) ) -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) : ( M X. O ) --> B )
117		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) : ( M X. O ) --> B -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) Fn ( M X. O ) )
118	115, 116, 117	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) Fn ( M X. O ) )
119		eqfnov2 6767	. . 3 |- ( ( ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) Fn ( M X. O ) /\ ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) Fn ( M X. O ) ) -> ( ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) = ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. O ( i ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) k ) = ( i ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) k ) ) )
120	108, 118, 119	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) = ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) <-> A. i e. M A. k e. O ( i ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) k ) = ( i ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) k ) ) )
121	104, 120	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( X F ( ( ( N X. O ) X. { Y } ) oF .x. Z ) ) = ( ( ( M X. O ) X. { Y } ) oF .x. ( X F Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   maMul cmmul 20189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-mamu 20190

This theorem is referenced by:  matassa  20250