Theorem mdetdiaglem 20404

Description: Lemma for mdetdiag 20405. Previously part of proof for mdet1 20407. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	|- D = ( N maDet R )
mdetdiag.a	|- A = ( N Mat R )
mdetdiag.b	|- B = ( Base ` A )
mdetdiag.g	|- G = (mulGrp ` R )
mdetdiag.0	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetdiaglem.g	|- H = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
mdetdiaglem.z	|- Z = ( ZRHom ` R )
mdetdiaglem.s	|- S = (pmSgn ` N )
mdetdiaglem.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mdetdiaglem	|- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   B, k   k, G   k, H   i, M, j, k   i, N, j, k   P, i, j, k   R, k   .0. , i, j, k

Allowed substitution hints:   A( i, j, k)   B( i, j)   D( i, j, k)   R( i, j)   S( i, j, k)   .x. ( i, j, k)   G( i, j)   H( i, j)   Z( i, j, k)

Proof of Theorem mdetdiaglem

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetdiaglem.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZRHom ` R )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> Z = ( ZRHom ` R ) )
3		mdetdiaglem.s	. . . . . 6 |- S = (pmSgn ` N )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> S = (pmSgn ` N ) )
5	2, 4	coeq12d 5286	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( Z o. S ) = ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) )
6	5	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( ( Z o. S ) ` P ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
8		mdetdiaglem.g	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
9	7, 8	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. H -> P : N -1-1-onto-> N )
10		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . 11 |- ( P : N -1-1-onto-> N -> P Fn N )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. H -> P Fn N )
12		fnnfpeq0 6444	. . . . . . . . . 10 |- ( P Fn N -> ( dom ( P \ _I ) = (/) <-> P = ( _I |` N ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( P e. H -> ( dom ( P \ _I ) = (/) <-> P = ( _I |` N ) ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( dom ( P \ _I ) = (/) <-> P = ( _I |` N ) ) )
15	14	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( P = ( _I |` N ) <-> dom ( P \ _I ) = (/) ) )
16	15	necon3bid 2838	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( P =/= ( _I |` N ) <-> dom ( P \ _I ) =/= (/) ) )
17		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( dom ( P \ _I ) =/= (/) <-> E. s s e. dom ( P \ _I ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
19		mdetdiag.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (mulGrp ` R )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
21	19, 20	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( +g ` G )
22	19	crngmgp 18555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> G e. CMnd )
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> G e. CMnd )
25		simpll2 1101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> N e. Fin )
26		mdetdiag.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A = ( N Mat R )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
28		mdetdiag.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- B = ( Base ` A )
29	26, 27, 28	matbas2i 20228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. B -> M e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
30	29	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> M e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
31		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
33	19, 27	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` R ) = ( Base ` G )
34	33	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` G ) = ( Base ` R )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` R ) )
36	35	feq3d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> ( M : ( N X. N ) --> ( Base ` G ) <-> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) ) )
37	32, 36	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` G ) )
38	37	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) /\ k e. N ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` G ) )
39	7, 8	symgbasf 17804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. H -> P : N --> N )
40	39	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> P : N --> N )
41	40	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) /\ k e. N ) -> ( P ` k ) e. N )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
43	38, 41, 42	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) /\ k e. N ) -> ( ( P ` k ) M k ) e. ( Base ` G ) )
44		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { s } i^i ( N \ { s } ) ) = (/)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( { s } i^i ( N \ { s } ) ) = (/) )
46		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P \ _I ) C_ P
47		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P \ _I ) C_ P -> dom ( P \ _I ) C_ dom P )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( P \ _I ) C_ dom P
49	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> P : N --> N )
50		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P : N --> N -> dom P = N )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> dom P = N )
52	48, 51	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> dom ( P \ _I ) C_ N )
53	52	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( s e. dom ( P \ _I ) -> s e. N ) )
54	53	impr 649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> s e. N )
55	54	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> { s } C_ N )
56		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { s } C_ N <-> ( { s } u. ( N \ { s } ) ) = N )
57	55, 56	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( { s } u. ( N \ { s } ) ) = N )
58	57	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> N = ( { s } u. ( N \ { s } ) ) )
59	18, 21, 24, 25, 43, 45, 58	gsummptfidmsplit 18330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. { s } |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) )
60		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> R e. Ring )
62	19	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> G e. Mnd )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> G e. Mnd )
64	63	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> G e. Mnd )
65	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> G e. Mnd )
66		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- s e. _V
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> s e. _V )
68	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
69	40, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( P ` s ) e. N )
70	68, 69, 54	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( ( P ` s ) M s ) e. ( Base ` R ) )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = s -> ( P ` k ) = ( P ` s ) )
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = s -> k = s )
73	71, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = s -> ( ( P ` k ) M k ) = ( ( P ` s ) M s ) )
74	33, 73	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ s e. _V /\ ( ( P ` s ) M s ) e. ( Base ` R ) ) -> ( G gsumg ( k e. { s } |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = ( ( P ` s ) M s ) )
75	65, 67, 70, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. { s } |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = ( ( P ` s ) M s ) )
76		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> s e. dom ( P \ _I ) )
77	11	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> P Fn N )
78		fnelnfp 6443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P Fn N /\ s e. N ) -> ( s e. dom ( P \ _I ) <-> ( P ` s ) =/= s ) )
79	77, 54, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( s e. dom ( P \ _I ) <-> ( P ` s ) =/= s ) )
80	76, 79	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( P ` s ) =/= s )
81	39	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> P : N --> N )
82	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> P : N --> N )
83	82, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> dom P = N )
84	48, 83	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> dom ( P \ _I ) C_ N )
85	84	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> ( s e. dom ( P \ _I ) -> s e. N ) )
86	85	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> s e. N )
87	81, 86	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( P ` s ) e. N )
88		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = ( P ` s ) -> ( i =/= j <-> ( P ` s ) =/= j ) )
89		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = ( P ` s ) -> ( i M j ) = ( ( P ` s ) M j ) )
90	89	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = ( P ` s ) -> ( ( i M j ) = .0. <-> ( ( P ` s ) M j ) = .0. ) )
91	88, 90	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = ( P ` s ) -> ( ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) <-> ( ( P ` s ) =/= j -> ( ( P ` s ) M j ) = .0. ) ) )
92		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = s -> ( ( P ` s ) =/= j <-> ( P ` s ) =/= s ) )
93		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = s -> ( ( P ` s ) M j ) = ( ( P ` s ) M s ) )
94	93	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = s -> ( ( ( P ` s ) M j ) = .0. <-> ( ( P ` s ) M s ) = .0. ) )
95	92, 94	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = s -> ( ( ( P ` s ) =/= j -> ( ( P ` s ) M j ) = .0. ) <-> ( ( P ` s ) =/= s -> ( ( P ` s ) M s ) = .0. ) ) )
96	91, 95	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` s ) e. N /\ s e. N ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) -> ( ( P ` s ) =/= s -> ( ( P ` s ) M s ) = .0. ) ) )
97	87, 86, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) -> ( ( P ` s ) =/= s -> ( ( P ` s ) M s ) = .0. ) ) )
98	97	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) -> ( ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) -> ( ( P ` s ) =/= s -> ( ( P ` s ) M s ) = .0. ) ) )
99	98	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( ( P ` s ) =/= s -> ( ( P ` s ) M s ) = .0. ) )
100	80, 99	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( ( P ` s ) M s ) = .0. )
101	75, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. { s } |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. )
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. { s } |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) )
103	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> R e. Ring )
104	103	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> R e. Ring )
105	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> G e. CMnd )
106		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> N e. Fin )
107		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N \ { s } ) C_ N
108		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ ( N \ { s } ) C_ N ) -> ( N \ { s } ) e. Fin )
109	106, 107, 108	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> ( N \ { s } ) e. Fin )
110	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) /\ k e. ( N \ { s } ) ) -> M : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
111	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) /\ k e. ( N \ { s } ) ) -> P : N --> N )
112		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( N \ { s } ) -> k e. N )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) /\ k e. ( N \ { s } ) ) -> k e. N )
114	111, 113	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) /\ k e. ( N \ { s } ) ) -> ( P ` k ) e. N )
115	110, 114, 113	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) /\ k e. ( N \ { s } ) ) -> ( ( P ` k ) M k ) e. ( Base ` R ) )
116	115	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> A. k e. ( N \ { s } ) ( ( P ` k ) M k ) e. ( Base ` R ) )
117	33, 105, 109, 116	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ P e. H ) -> ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
118	117	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
119		mdetdiag.0	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` R )
120	27, 20, 119	ringlz 18587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) = .0. )
121	104, 118, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( G gsumg ( k e. ( N \ { s } ) |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) = .0. )
122	59, 102, 121	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ ( P e. H /\ s e. dom ( P \ _I ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. )
123	122	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( s e. dom ( P \ _I ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. ) )
124	123	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( E. s s e. dom ( P \ _I ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. ) )
125	17, 124	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( dom ( P \ _I ) =/= (/) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. ) )
126	16, 125	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) /\ P e. H ) -> ( P =/= ( _I |` N ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. ) )
127	126	expimpd 629	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) ) -> ( ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. ) )
128	127	3impia 1261	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) = .0. )
129	6, 128	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) .x. .0. ) )
130		3simpa 1058	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) -> ( R e. CRing /\ N e. Fin ) )
131		simpl 473	. . . 4 |- ( ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) -> P e. H )
132	60	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ P e. H ) -> R e. Ring )
133		zrhpsgnmhm 19930	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
134	60, 133	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
135		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
136	8, 135	mhmf 17340	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : H --> ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
137	134, 136	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : H --> ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
138	137	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ P e. H ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
139		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
140	139, 27	mgpbas 18495	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
141	140	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` R )
142		mdetdiaglem.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
143	141, 142, 119	ringrz 18588	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) .x. .0. ) = .0. )
144	132, 138, 143	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) /\ P e. H ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) .x. .0. ) = .0. )
145	130, 131, 144	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) .x. .0. ) = .0. )
146	145	3adant2 1080	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` P ) .x. .0. ) = .0. )
147	129, 146	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( R e. CRing /\ N e. Fin /\ M e. B ) /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = .0. ) /\ ( P e. H /\ P =/= ( _I |` N ) ) ) -> ( ( ( Z o. S ) ` P ) .x. ( G gsumg ( k e. N |-> ( ( P ` k ) M k ) ) ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mdetdiag  20405