Theorem mdetrlin 20408

Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrlin.d	|- D = ( N maDet R )
mdetrlin.a	|- A = ( N Mat R )
mdetrlin.b	|- B = ( Base ` A )
mdetrlin.p	|- .+ = ( +g ` R )
mdetrlin.r	|- ( ph -> R e. CRing )
mdetrlin.x	|- ( ph -> X e. B )
mdetrlin.y	|- ( ph -> Y e. B )
mdetrlin.z	|- ( ph -> Z e. B )
mdetrlin.i	|- ( ph -> I e. N )
mdetrlin.eq	|- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
mdetrlin.ne1	|- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Y |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
mdetrlin.ne2	|- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetrlin	|- ( ph -> ( D ` X ) = ( ( D ` Y ) .+ ( D ` Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrlin

Dummy variables p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. _V
2		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) )
4	2, 3	fnmpti 6022	. . . . . 6 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) Fn ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
5		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
7	5, 6	fnmpti 6022	. . . . . 6 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) Fn ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
8		ofmpteq 6916	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. _V /\ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) Fn ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) Fn ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) oF .+ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) oF .+ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
10		mdetrlin.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CRing )
11		crngring 18558	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Ring )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. Ring )
14		mdetrlin.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. B )
15		mdetrlin.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = ( N Mat R )
16		mdetrlin.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` A )
17	15, 16	matrcl 20218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
19	18	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. Fin )
20		zrhpsgnmhm 19930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
21	12, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
25	23, 24	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
26	22, 25	mhmf 17340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` R ) )
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` R ) )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. ( Base ` R ) )
29	23	crngmgp 18555	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
30	10, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
32	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N e. Fin )
33	15, 24, 16	matbas2i 20228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. B -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
34		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> Y : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
35	14, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> Y : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> r e. N )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
39	38, 22	symgbasf 17804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> p : N --> N )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N --> N )
41	40	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( p ` r ) e. N )
42	36, 37, 41	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r Y ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. N ( r Y ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
44	25, 31, 32, 43	gsummptcl 18366	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
45		mdetrlin.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Z e. B )
46	15, 24, 16	matbas2i 20228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. B -> Z e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
47		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> Z : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Z : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
50	49, 37, 41	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
51	50	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. N ( r Z ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
52	25, 31, 32, 51	gsummptcl 18366	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
53		mdetrlin.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` R )
54		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
55	24, 53, 54	ringdi 18566	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
56	13, 28, 44, 52, 55	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
57		cmnmnd 18208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (mulGrp ` R ) e. CMnd -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
58	31, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
59		mdetrlin.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. N )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. N )
61	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Y : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
62	40, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( p ` I ) e. N )
63	61, 60, 62	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I Y ( p ` I ) ) e. ( Base ` R ) )
64		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = I -> r = I )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = I -> ( p ` r ) = ( p ` I ) )
66	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> ( r Y ( p ` r ) ) = ( I Y ( p ` I ) ) )
67	25, 66	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I Y ( p ` I ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) = ( I Y ( p ` I ) ) )
68	58, 60, 63, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) = ( I Y ( p ` I ) ) )
69	68, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
70	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
71	70, 60, 62	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I Z ( p ` I ) ) e. ( Base ` R ) )
72	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> ( r Z ( p ` r ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
73	25, 72	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
74	58, 60, 71, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
75	74, 71	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
76		difssd 3738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) C_ N )
77		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ ( N \ { I } ) C_ N ) -> ( N \ { I } ) e. Fin )
78	32, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) e. Fin )
79		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. ( N \ { I } ) -> r e. N )
80		mdetrlin.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. B )
81	15, 24, 16	matbas2i 20228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. B -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
82		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> X : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
83	80, 81, 82	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
84	83	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> X : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
85	84, 37, 41	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r X ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
86	79, 85	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r X ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
87	86	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. ( N \ { I } ) ( r X ( p ` r ) ) e. ( Base ` R ) )
88	25, 31, 78, 87	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
89	24, 53, 54	ringdir 18567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
90	13, 69, 75, 88, 89	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
91	23, 54	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
92		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/) )
94	59	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { I } C_ N )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> { I } C_ N )
96		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { I } C_ N <-> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N )
97	95, 96	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N )
98	97	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N = ( { I } u. ( N \ { I } ) ) )
99	25, 91, 31, 32, 85, 93, 98	gsummptfidmsplit 18330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
100		mdetrlin.eq	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
102	101	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) )
103		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { I } C_ N -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) )
104	95, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) )
105	61, 104	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y |` ( { I } X. N ) ) : ( { I } X. N ) --> ( Base ` R ) )
106		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) : ( { I } X. N ) --> ( Base ` R ) -> ( Y |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
108	70, 104	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) : ( { I } X. N ) --> ( Base ` R ) )
109		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) : ( { I } X. N ) --> ( Base ` R ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
111		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { I } e. _V
112		xpexg 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { I } e. _V /\ N e. Fin ) -> ( { I } X. N ) e. _V )
113	111, 32, 112	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) e. _V )
114		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( I e. N -> I e. { I } )
115	60, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. { I } )
116		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) <-> ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) )
117	115, 62, 116	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) )
118		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) /\ ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) ) /\ ( ( { I } X. N ) e. _V /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) ) -> ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) .+ ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) )
119	107, 110, 113, 117, 118	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) .+ ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) )
120		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
121		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
122		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
123	121, 122	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) .+ ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) .+ ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) )
124	119, 120, 123	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( ( Y |` ( { I } X. N ) ) oF .+ ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) .+ ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) )
125	102, 124	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) .+ ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) )
126		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
127	115, 62, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
128		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Y ( p ` I ) ) )
129	115, 62, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Y ( p ` I ) ) )
130		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
131	115, 62, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
132	129, 131	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I ( Y |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) .+ ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( ( I Y ( p ` I ) ) .+ ( I Z ( p ` I ) ) ) )
133	125, 127, 132	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( ( I Y ( p ` I ) ) .+ ( I Z ( p ` I ) ) ) )
134	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> X : ( N X. N ) --> ( Base ` R ) )
135	134, 60, 62	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) e. ( Base ` R ) )
136	64, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = I -> ( r X ( p ` r ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
137	25, 136	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I X ( p ` I ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
138	58, 60, 135, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
139	68, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I Y ( p ` I ) ) .+ ( I Z ( p ` I ) ) ) )
140	133, 138, 139	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
142	99, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
143	25, 91, 31, 32, 42, 93, 98	gsummptfidmsplit 18330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) )
144		mdetrlin.ne1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Y |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
145	144	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Y |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
146	145	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Y |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) )
147		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> r e. ( N \ { I } ) )
148	79, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( p ` r ) e. N )
149		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
150	147, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
151		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( Y |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Y ( p ` r ) ) )
152	147, 148, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( Y |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Y ( p ` r ) ) )
153	146, 150, 152	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r Y ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
154	153	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) = ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) )
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
157	143, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
158	25, 91, 31, 32, 50, 93, 98	gsummptfidmsplit 18330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
159		mdetrlin.ne2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
160	159	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
161	160	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) )
162		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
163	147, 148, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
164	161, 150, 163	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r Z ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
165	164	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) = ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) )
167	166	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
168	158, 167	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
169	157, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
170	90, 142, 169	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) )
171	170	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) .+ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
172	56, 171	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
173	172	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
174	9, 173	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) oF .+ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
175	174	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) oF .+ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
176		ringcmn 18581	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
177	10, 11, 176	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> R e. CMnd )
178	38, 22	symgbasfi 17806	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin )
179	19, 178	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin )
180	24, 54	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
181	13, 28, 44, 180	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
182	24, 54	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. ( Base ` R ) /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
183	13, 28, 52, 182	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
184	24, 53, 177, 179, 181, 183, 3, 6	gsummptfidmadd2 18326	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) oF .+ ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
185	175, 184	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
186		mdetrlin.d	. . . 4 |- D = ( N maDet R )
187		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
188		eqid 2622	. . . 4 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
189	186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23	mdetleib2 20394	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( D ` X ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
190	10, 80, 189	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( D ` X ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
191	186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23	mdetleib2 20394	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Y e. B ) -> ( D ` Y ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
192	10, 14, 191	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( D ` Y ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
193	186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23	mdetleib2 20394	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Z e. B ) -> ( D ` Z ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
194	10, 45, 193	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( D ` Z ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
195	192, 194	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` Y ) .+ ( D ` Z ) ) = ( ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Y ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) .+ ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ( .r ` R ) ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
196	185, 190, 195	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( D ` X ) = ( ( D ` Y ) .+ ( D ` Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mdet 20391

This theorem is referenced by:  mdetrlin2  20413  mdetuni0  20427  mdetmul  20429